Parábola con centro (h,k)
La parábola de vértice (4,-1), y su ecuación del eje es y=-1, pasa por los puntos (3,-3), Encuentra su ecuación, foco, y su directriz?; espero que me ayudes, Gracias!!!
El eje es la recta y=-1 que es horizontal, para este tipo de párabolas (con vértice en (0,0)) la ecuación canónica es
y^2 = 2px
Donde p es la distancia entre la directriz y el foco.
Y el vértice está justo en en centro de la directriz y el foco a distancia p/2 de ambos.
Y la ecuación canónica cuando el vértice es distinto de (0,0) es esta
(y-b)^2 = 2p(x-a)
Donde (a, b) es el vértice
Asi que nuestra parábola con vértice en (4, -1) será
(y+1)^2 = 2p(x-4)
y debe pasar por el punto (3,-3) luego
(-3+1)^2 = 2p(3-4)
4=-2p
p=-2
Luego la ecuación es
(y+1)^2 = -2(x-4)
Obsérvese el signo - del segundo miembro, eso significa que para que ese miembro sea positivo como el primero, tendrá que tener la x negativa a partir de cierto momento, la parábola va hacia la izquierda. Y por lo tanto la directriz estará a la derecha del vértice y el foco a la izquierda. El signo menos de p nos habría permitido calcularlos sin hacer este inciso, pero es mejor que lo veamos.
El foco es el vértice más p/2
f = (a,b) + (p/2, 0) = (4,-1)+(-2/2, 0) = (3, -1)
La directriz es la recta vertical que pasa por el punto simétrico del eje de la parábola respecto del vértice
p = (a,b) - (p/2,0) =(4, -1) -(-2/2, 0) = (5, -1)
por tanto es la recta
directriz: x=5
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no, pregunta lo que no hayas entendido.
Por que al momento de sacar "p", la sacas sustituyendo en la en la ecuación de la parábola?.
Yo la sustituyo en la de la directriz y me de "p=1", esta mal sacar "p" con la directriz?
No entiendo lo que dices, podrías escribir tu método completo. No sé como llegas a p = 1.
p es un letra estándar que indica la distancia entre el foco y la directriz, de tal modo que la directriz esta a -p/2 del vértice y el foco a +p/2 del vértice. Y la teoría demuestra que una parábola con eje paralelo al eje X y con vértice en (a-b) tiene por ecuación
(y-b)² =2p(x-a)
De donde podemos calcular p y con eso se encuentra después el foco y la directriz.
