Ecuaciones diferenciales parciales
Cordial saludo mikel
Estoy desarrollando el siguiente problema pero no entiendo muy bien como resolverlo podrías ayudarme a entenderlo
Compruebe que las siguientes funciones son soluciones de la ecuacion
dz/dx +dz/dy =z
a) exp[(1/2)(x+y)]
b)exp(2y-x)
c)e^(x)*f(x-y)
d)e^(y)*(x-y)^3
e)exp[y+f(x-y)]
f)a*e^x +b*e^y
Aqui f es una funcion diferenciable arbitraria
-----------------------------
Lo que yo creo es que esa ecuación diferencial tiene infinidad de respuestas según el fenómeno físico que represente, es una EDP de primer orden, creo que es lineal y no se muy bien si es homogénea (¿cuál es el criterio de homogeneidad?)
¿Osea qué debe tener una solución general que al reemplazarla por las funciones que dan se debe cumplir la igualdad
hasta ahí voy bien? ¿Qué sigue ahora?
Estoy desarrollando el siguiente problema pero no entiendo muy bien como resolverlo podrías ayudarme a entenderlo
Compruebe que las siguientes funciones son soluciones de la ecuacion
dz/dx +dz/dy =z
a) exp[(1/2)(x+y)]
b)exp(2y-x)
c)e^(x)*f(x-y)
d)e^(y)*(x-y)^3
e)exp[y+f(x-y)]
f)a*e^x +b*e^y
Aqui f es una funcion diferenciable arbitraria
-----------------------------
Lo que yo creo es que esa ecuación diferencial tiene infinidad de respuestas según el fenómeno físico que represente, es una EDP de primer orden, creo que es lineal y no se muy bien si es homogénea (¿cuál es el criterio de homogeneidad?)
¿Osea qué debe tener una solución general que al reemplazarla por las funciones que dan se debe cumplir la igualdad
hasta ahí voy bien? ¿Qué sigue ahora?
1 Respuesta
Respuesta de mikel1970
1
Perdona la tardanza, pero he estado un poco liado.
Si te das cuenta no te piden que resuelvas la ecuación diferencial, sino sólo comprobar que las respuestas son soluciones de las mismas. Y esto es lógico, puesto que una ecuación diferencial en derivadas parciales tiene infinitas soluciones, y sólo con la ecuación no podemos sacar una única solución. El caso es parecido a las ecuaciones diferenciales ordinarias. Al tener que integrar, siempre nos quedará una constante de integración, que sólo podremos sacar si conocemos las condiciones iniciales del problema. En el caso de las ecuaciones en derivadas parciales la cosa aún se complica un poco más, puesto que si integramos respecto a la variable y, la constante de integración lo es respecto a esa variable, es decir será cualquier función arbitraria que dependa de x.
Comprobemos que las soluciones propuestas cumplen la ecuación.
Usaremos la noptación:
Dz/Dx-->derivada parcial de z respecto a x, con y=cte
Dz/Dy-->derivada parcial de z respecto a y, con z=cte
a) z=e^[(1/2)*(x+y)]
Dz/Dx=e^[(1/2)*(x+y)]*(1/2)
Dz/DY=e^[(1/2)*(x+y)]*(1/2)
Dz/Dx+Dz/Dy=(1/2)*e^[(1/2)*(x+y)]+(1/2)*e^[(1/2)*(x+y)]=e^[(1/2)*(x+y)]=z
b) z=e^(2y-x)
Dz/Dx=e^(2y-x)*(-1)
Dz/DY=e^(2y-x)*2
Dz/Dx+Dz/Dy=-e^(2y-x)+2*e^(2y-x)=e^(2y-x)=z
c) z=e^x*f(x-y)
Dz/Dx=e^x*f(x-y)+e^x*f'(x-y)
Dz/DY=e^x*f'(x-y)*(-1)
Dz/Dx+Dz/Dy=e^x*f(x-y)+e^x*f'(x-y)-e^x*f'(x-y)=e^x*f(x-y)=z
d) z=e^y*(x-y)^3
Dz/Dx=e^y*3*(x-y)^2
Dz/DY=e^y*(x-y)^3+e^y*3*(x-y)^2*(-1)
Dz/Dx+Dz/Dy=3*e^y*(x-y)^2+e^y*(x-y)^3-3*e^y*(x-y)^2=e^y*(x-y)^3=z
e) z=e^[y+f(x-y)]
Dz/Dx=e^[y+f(x-y)]*f'(x-y)
Dz/DY=e^[y+f(x-y)]*[1+f'(x-y)*(-1)]=e^[y+f(x-y)]-e^[y+f(x-y)]*f'(x-y)
Dz/Dx+Dz/Dy=e^[y+f(x-y)]*f'(x-y)+e^[y+f(x-y)]-e^[y+f(x-y)]*f'(x-y)=e^[y+f(x-y)]=z
f) z=a*e^x+b*e^y
Dz/Dx=a*e^x
Dz/DY=b*e^y
Dz/Dx+Dz/Dy=a*e^x+b*e^y=z
Respecto a si es o no lineal y homogénea, en este caso es lineal, puesto que no hay ni potencias ni multiplicaciones de las derivadas parciales, y es homogénea de coeficientes constantes, puesto que los coeficientes a los que están multiplicados las derivadas parciales son constantes (1 y 1).
Se dice que una aplicación será homogénea, si los coeficientes a los que están multiplicados las derivadas parciales sólo dependen de la veariable respecto a la que derivamos o son constantes.
Si te das cuenta no te piden que resuelvas la ecuación diferencial, sino sólo comprobar que las respuestas son soluciones de las mismas. Y esto es lógico, puesto que una ecuación diferencial en derivadas parciales tiene infinitas soluciones, y sólo con la ecuación no podemos sacar una única solución. El caso es parecido a las ecuaciones diferenciales ordinarias. Al tener que integrar, siempre nos quedará una constante de integración, que sólo podremos sacar si conocemos las condiciones iniciales del problema. En el caso de las ecuaciones en derivadas parciales la cosa aún se complica un poco más, puesto que si integramos respecto a la variable y, la constante de integración lo es respecto a esa variable, es decir será cualquier función arbitraria que dependa de x.
Comprobemos que las soluciones propuestas cumplen la ecuación.
Usaremos la noptación:
Dz/Dx-->derivada parcial de z respecto a x, con y=cte
Dz/Dy-->derivada parcial de z respecto a y, con z=cte
a) z=e^[(1/2)*(x+y)]
Dz/Dx=e^[(1/2)*(x+y)]*(1/2)
Dz/DY=e^[(1/2)*(x+y)]*(1/2)
Dz/Dx+Dz/Dy=(1/2)*e^[(1/2)*(x+y)]+(1/2)*e^[(1/2)*(x+y)]=e^[(1/2)*(x+y)]=z
b) z=e^(2y-x)
Dz/Dx=e^(2y-x)*(-1)
Dz/DY=e^(2y-x)*2
Dz/Dx+Dz/Dy=-e^(2y-x)+2*e^(2y-x)=e^(2y-x)=z
c) z=e^x*f(x-y)
Dz/Dx=e^x*f(x-y)+e^x*f'(x-y)
Dz/DY=e^x*f'(x-y)*(-1)
Dz/Dx+Dz/Dy=e^x*f(x-y)+e^x*f'(x-y)-e^x*f'(x-y)=e^x*f(x-y)=z
d) z=e^y*(x-y)^3
Dz/Dx=e^y*3*(x-y)^2
Dz/DY=e^y*(x-y)^3+e^y*3*(x-y)^2*(-1)
Dz/Dx+Dz/Dy=3*e^y*(x-y)^2+e^y*(x-y)^3-3*e^y*(x-y)^2=e^y*(x-y)^3=z
e) z=e^[y+f(x-y)]
Dz/Dx=e^[y+f(x-y)]*f'(x-y)
Dz/DY=e^[y+f(x-y)]*[1+f'(x-y)*(-1)]=e^[y+f(x-y)]-e^[y+f(x-y)]*f'(x-y)
Dz/Dx+Dz/Dy=e^[y+f(x-y)]*f'(x-y)+e^[y+f(x-y)]-e^[y+f(x-y)]*f'(x-y)=e^[y+f(x-y)]=z
f) z=a*e^x+b*e^y
Dz/Dx=a*e^x
Dz/DY=b*e^y
Dz/Dx+Dz/Dy=a*e^x+b*e^y=z
Respecto a si es o no lineal y homogénea, en este caso es lineal, puesto que no hay ni potencias ni multiplicaciones de las derivadas parciales, y es homogénea de coeficientes constantes, puesto que los coeficientes a los que están multiplicados las derivadas parciales son constantes (1 y 1).
Se dice que una aplicación será homogénea, si los coeficientes a los que están multiplicados las derivadas parciales sólo dependen de la veariable respecto a la que derivamos o son constantes.
