Progresión

Denotaré x^y para la potenciación, "x elevado a y"
Se trata de una progresión aritmética.
Si denotamos por p(n) el número de palabras que el estudiante aprende el n-ésimo día, podemos escribir:
p(1) = 1
p(2) = 2p(1) = 2
p(3) = 2p(2) = 4
...
Y en general:
p(n) = 2*p(n-1)
para n>1
Lo que nos piden es el sumatorio de los diás desde n=1 hasta n=3*30=90, considerando meses de 30 días. Sea S(n) esta suma, que representará el número de palabras totales aprendidas por el estudiante desde el primer día al n-ésimo (una vez acabado).
S(n) = sumatorio desde i=1 hasta i=n de p(i)
Para resolver esta progresión, escribimos la ecuación de recurrencia:
S(n) = S(n-1) + 2^n
(*) S(n) - S(n-1) = 2^n
Multiplicando (*) por 2:
(**) 2S(n) - 2S(n-1) = 2^(n+1)
y substituyendo n por n+1 en (*):
(***) S(n+1) - S(n) = 2^(n+1)
Restando (**) a (***):
S(n+1) -3S(n) + 2S(n-1) = 0
Ya tenemos la ecuación en forma homogénea: podemos hallar resolver la ecuación característica
x^2 - 3x + 2 = 0
Sus dos soluciones son:
x = [ 3 + raiz(9-4·1·2) ] / 2 = 2
x = [ 3 - raiz(9-4·1·2) ] / 2 = 1
La solución pertenece a la familia de funciones:
S(n) = a·2^n + b·1^n = a·2^n + b
Para hallar las constantes a y b necesitamos dos condiciones iniciales, que las tenemos y son:
S(1) = 1
S(2) = 3
Luego:
1 = 2a + b
3 = a·2^2 + b = 4a+b
De donde b=1-2a ==> 3 = 4a+1-2a ==>
==> 2 = 2a ==> a = 1
==> b = 1-2a = -1
S(n) = 1·2^n - 1 = 2^n - 1
==> S(n) = 2^n -1
Esta es la solución de la progresión aritmética dada Aplicándolar para n = 30*3 (3 meses de 30 días): S(90) = 2^90-1 palabras (trillones de veces más que las que hay en el diccionario). Y en el último día aprende, simplemente 2^(90-1) palabras.