Hexa´gonos

Si unimos el centro de un polígono regular de n lados con sus vértices, se formarán n triángulos isósceles, siendo el lado l el lado desigual, de forma que el área del polígono será la suma de esos n triángulos. Si llamamos apotema a la altura de esos triángulos, el área de cada triángulo será
Striang=(1/2)*base*altura
Striang=(1/2)*lado*apotema
El área total será
S=n*Striang=(1/2)*n*l*apotema
y como n*l=perimetro, finalmente
S=(1/2)*perimetro*apotema
El centro es además el centro de los círculos que inscriben y circunscriben al polígono.
En el caso de un hexágono se da además una circunstancia adicional. Esos triángulos tienen de ángulo central 360/6=60º, es decir, son equiláteros.
Hexágono inscrito en la circunferencia
El lado coincide con el radio.
Si partimos por la mitad uno de los triángulos equiláteros, nos queda un triángulo rectángulo de
Hipotenusa=R
Cateto inferior=lado/2=R/2
Por Pitágoras
R^2=a^2+(R/2)^2=a^2+R^2/4
a^2=R^2-R^2/4=(3/4)*R^2
a=raiz(3)/2 * R
El área será
S=(1/2)*p*a=(1/2)*6*lado*a
S=3*R*raiz(3)/2 *R
S=3*raiz(3)*R^2/2
Hexágono circunscrito
El triángulo sigue siendo equilátero, pero ahora el radio no es el lado, sino la apotema.
El triángulo rectángulo nos queda:
Hipotenusa:l
Cateto:R
Cateto: l/2
Por Pitágoras
l^2=(l/2)^2+R^2
(3/4)*l^2=R^2
l^2=(4/3)*R^2
l=(2/raiz(3))*R=(2*raiz(3)/3)*R
Y la superficie será
S'=(1/2)*p*a=
S'=(1/2)*6*l*R=3*2*raiz(3)/3*R^2
S'=2*raiz(3)*R^2
La relación entre el hexágono mayor y el menor es por tanto
S'=[2*raiz(3)*R^2
]/[3*raiz(3)*R^2/2
]=2/(3/2)=4/3
Es decir, la relación es de 4 a 3.