Otro problema con álgebra

Hay muchas formas de plantear estos problemas geométricos.
Trataré de hacerlos de la forma más sencilla, de forma que no se requiera el conocimiento de muchas fórmulas y sólo es necesario saber lo siguiente
1º La ecuación explícita de una recta en el plano es
y=mx+n, siendo m la pendiente
2º Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente
mr=ms
3º Dos rectas perpendiculares tienen pendientes tales que
mr=-1/ms
Lo primero que haremos será pasar a explícita la recta L
L=k(3,4)
(x,y)=k(3,4)-->Ecuación vectorial
(x,y)=(3k,4k)
x=3k
y=4k -->Ecuaciones paramétricas
Despejando k
x/3=y/4 -->Ecuación contínua
Multiplicando en cruz
4x=3y
4x-3y=0 -->Ecuación implícita
Despejando y
y=(4/3)*x-->Ecuación explícita
a)(a)todos los puntos que están en la recta paralela a L que pasa por A y que distan 2 de A;
Calculamos la recta r que es paralela a L y pasa por A
1)Como es paralela a L tiene la misma pendiente y=(4/3)*x+n
2)Exigimos que pase por A(2,-3)
-3=(4/3)*2+n
-3=8/3+n
n=-3-8/3=-17/3
luego la ecuación de r es
y=(4/3)*x-(17/3)
Si calculamos el vector unitario u que dirige a la recta es, es decir que tiene la dirección de v=(3,4)
(Recordemos que para hacer un vector unitario de la misma dirección que v, sólo hay que dividirlo entre su módulo)
|v|=raiz[3^2+4^2]=raiz[9+16]=5
luego
u=v/|v|=(3,4)/5=(3/5,4/5)
Para calcular los puntos P(x, y) que distan dos unidades de A, y que están sobre la recta r:
OP=OA+2*u y OP=OA-2*u
(x,y)=(2,-3)+2*(3/5,4/5)=(2,-3)+(6/5,8/5)=(2+6/5,-3+8/5)=(16/5,-7/5)
(x,y)=(2,-3)-2*(3/5,4/5)=(2,-3)-(6/5,8/5)=(2-6/5,-3-8/5)=(4/5,-23/5)
Que son los puntos buscados
(b)el punto P de la recta L que está a menor distancia de A
Evidentemente será el punto de corte entre una recta perpendicular a L y que pase por A, y la recta L
Sea es una recta perpendicular a L y que pase por A
1) Como es perpendicular a L:y=(4/3)*x, su pendiente será de -3/4
y=-(3/4)*x+n
2)Exigimos que pase por A(2,-3)
-3=-(3/4)*2+n
n=-3+6/4=-3/2
Luego la recta s es
y=-(3/4)*x-3/2
El punto será el corte entre L y s
y=(4/3)*x
y=-(3/4)*x-3/2
(4/3)x=-(3/4)*x-3/2
(4/3)*x+(3/4)*x=-3/2
(25/12)*x=-3/2
x=-(3/2)*(12/25)=-18/25
y=(4/3)*(-18/25)=-24/25
Luego el punto es P(-18/25,-24/25)
¿cuánto vale
(P-A).(3,4)?
Evidentemente cero, pues P-A=AP es perpendicular a L y por lo tanto a su vector director, con lo que su producto escalar es nulo
De todas formas
P-A=AP=(-18/25,-24/25)-(2,-3)=(-18/25-2,-24/25+3)=(-68/25,51/25)
(-68/25,51/25)·(3,4)=(-68/25)*3+(51/25)*4=-204/25+204/25=0
Tal como ya sabíamos.