Determinante de Matriz
Hola, me podrías decir como se calcula el determinante de esta matriz?
Yo lo he intentado, pero me quedo con una función con varias (1+x) elevadas las cuales no se que hacer con ellas.
Gracias por anticipado.
1 respuesta
Creo que el problema que te piden es solucionar la ecuación. Te quedara un polinomio de grado 4 igualado a cero y tendrás que encontrar las raíces de ese polinomio. Es un problema típico en álgebra lineal, lo verás si no lo has visto ya cuando estudies los valores y vectores propios de una matriz.
El cálculo podría ser asi, El el primer paso restaremos la fila primera a todas las demás, en el segundo sumaremos la columna cuarta a la primera. Como tendremos la fila 4 con toda ceros salvo el elemento A44, el determinante será A44 por su adjunto.
|1+x 1 1 1| |2+x 1 1 1| |-x x 0 0| |-x x 0 0| |-x 0 x 0|=|-x 0 x 0|= |-x 0 0 x| | 0 0 0 x|
x[(2+x)x^2 + x^2 + x^2] = 0
x(2x^2 + x^3 + 2x^2) = 0
x(x^3+4x^2) = 0
x^3(x+4)=0
Las soluciónes son:
x=0 con multiplicidad 3
x=-4
Y eso es todo.
Si, tienes razón los enunciados son como tu decías.
He entendido los pasos, pero a mi entender a la matriz le realizas una serie de operaciones entre filas y columnas con la finalidad de conseguir que una fila tenga todo ceros menos en uno de sus términos, el cual multiplicaras por su adjunto.
Me podrías aclarar esas operaciones entre filas y columnas, me imagino que para cada ejercicio existirán multitud de combinaciones de sumas y restas entre ellas con las cuales se puede llegar a un resultado correcto.
¿De que forma puedo operar con esas filas y columnas? ¿sumas y restas, o también puedo multiplicar o dividir? ¿y en que orden?
En concreto en este ejercicio he hecho las operaciones que te dije. Primero reste la fila primera a las fila segunda, tercera y cuarta, el resultado era el primer determinante que escribí luego uma la cuarta columna a la primera. Huce esas operaciones porque vi que eran las que me conducían a tener una fila con todo ceros menos un lugar.
Las operaciones que puedes hacer sin ningún problema son:
- Sumar a una fila otra multiplicada por algo.
- Sumar a una fila varias filas o varias filas multiplicadas por algo. Aunque esto es más difícil y no suele hacerse
En determinantes se pueden hacer, pero en resolución de ecuaciones o cálculo de inversas no:
- Todo lo dicho antes aplicado a las columnas.
Se pueden hacer pero teniendo en cuanta que:
- Cambiar dos filas, pero el determinante cambia de signo
- Multiplicar o dividir una fila por algo, pero el determinante queda multiplicado a dividido por eso
Se puede hacer en determinantes pero no en resolución de ecuaciones o cálculo de inversas:
-Todo lo dicho antes aplicado a las columnas
Lo mas normal es colocar un 1 en la esquina de arriba-izquierda, pero si cambias filas o columnas, multiplicas o divides tendrás que tener en cuenta que el determinante cambia su valor. Aunque si lo que vas a hacer es calcular un determinante que luego se igualará a cero da lo mismo. Se suma esa fila multiplicada por el opuesto del primer elemento de cada fila a esa fila y así hacemos ceros en la primera columna.
Luego sería bueno que el segundo elemento de la diagonal fuera uno y haríamos lo mismo para que la segunda columna debajo de la diagonal sea ceros. Asi se hace hasta que debajo de la diagonal sea todo ceros. Entonces el determinante es simplemente el producto de los elementos de la diagonal.
Eso funciona bien cuando son números, pero en este ejercicio con polinomios vi mejor resolverlo que esa forma que lo hice.
