Problema de optimización
Hola, gracias de antemano por la molestia. Estoy haciendo unos problemas de optimización de funciones pero este se me ha atragantado:
"En un triángulo de base 4m. Y altura 2m. Inscribir el rectángulo de área máxima, sabiendo que un lado del rectángulo descansa sobre dicha base"
A ver si me puedes encaminar por la solución, porque yo ya ando por los cerros de Calatayud...
"En un triángulo de base 4m. Y altura 2m. Inscribir el rectángulo de área máxima, sabiendo que un lado del rectángulo descansa sobre dicha base"
A ver si me puedes encaminar por la solución, porque yo ya ando por los cerros de Calatayud...
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Respuesta de joseramos7
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Sería más fácil explicártelo con un dibujo. De todos modos voy a intentarlo:
Dibuja un triángulo (no lo hagas equilátero ni isósceles porque puede despistar). Bien: La base es 4 y la altura 2. Ahora dibuja un rectángulo inscrito cuya base se encuentre en la base del triángulo. Llama por a la altura del rectángulo e y a la base del mismo.
Fíjate que se forma un triángulo más pequeño en la parte superior del triángulo grande cuya base es el lado superior del rectángulo.
Pues bien, el triangulo de partida y este triángulo pequeño que está encima son semejantes porque tienen los tres ángulos iguales.
Si dos triángulos son semejantes, las relaciones entre lados y alturas son proporcionales, esto quiere decir que:
Base del grande/altura del grande = base del pequeño/altura del pequeño.
Ahora bien, sustituyamos esta igualdad por sus valores.
Base del grande = 4
Base de pequeño = y
Altura del grande = 2
Altura del pequeño = 2-x
Tenemos la igualdad:
4/2 =y/2-x ; es decir y=4-2x.
Como el area del rectángulo es base.altura, o sea A=x.y, sustituyendo y por 4-2x, resulta que el área es x(4-2x), obteniéndose la función A=4x-2x^2 que para obtenerle el extremo relativo (máximo en este caso) se deriva para igualar a cero y obtener el valor de la x.
A'=4-4x. A'=0 para x=1.
Solución:
El triángulo que tengo que inscribir tiene altura x=1 y base y=4-2x = 4-2= 2.
Dibuja un triángulo (no lo hagas equilátero ni isósceles porque puede despistar). Bien: La base es 4 y la altura 2. Ahora dibuja un rectángulo inscrito cuya base se encuentre en la base del triángulo. Llama por a la altura del rectángulo e y a la base del mismo.
Fíjate que se forma un triángulo más pequeño en la parte superior del triángulo grande cuya base es el lado superior del rectángulo.
Pues bien, el triangulo de partida y este triángulo pequeño que está encima son semejantes porque tienen los tres ángulos iguales.
Si dos triángulos son semejantes, las relaciones entre lados y alturas son proporcionales, esto quiere decir que:
Base del grande/altura del grande = base del pequeño/altura del pequeño.
Ahora bien, sustituyamos esta igualdad por sus valores.
Base del grande = 4
Base de pequeño = y
Altura del grande = 2
Altura del pequeño = 2-x
Tenemos la igualdad:
4/2 =y/2-x ; es decir y=4-2x.
Como el area del rectángulo es base.altura, o sea A=x.y, sustituyendo y por 4-2x, resulta que el área es x(4-2x), obteniéndose la función A=4x-2x^2 que para obtenerle el extremo relativo (máximo en este caso) se deriva para igualar a cero y obtener el valor de la x.
A'=4-4x. A'=0 para x=1.
Solución:
El triángulo que tengo que inscribir tiene altura x=1 y base y=4-2x = 4-2= 2.
