Problema de optimización
Hola, perdón por la molestia, tengo un problemilla de optimización que me está dando quebraderos de cabeza. Dice así:
"En un triángulo de base 4m. Y altura 2m. Inscribir el rectángulo de área máxima, sabiendo que un lado del rectángulo descansa sobre dicha base"
Valor y al toro...
"En un triángulo de base 4m. Y altura 2m. Inscribir el rectángulo de área máxima, sabiendo que un lado del rectángulo descansa sobre dicha base"
Valor y al toro...
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Respuesta
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Parece un problema que se pueda resolver con el algoritmo Símplex, pero yo lo voy a hacer a pelo.
Supongamos el eje POR situado sobre la base del triángulo y el eje Y perpendicular pasando por el vértice izquierdo de la base. Supongamos que los lados del triángulo (que no son la base) vienen dados por dos rectas que se cortan:
y=ax
y=bx+c
donde 0<a<infinito, -infinito<b<0, y c>0
Entonces, dada la altura y del rectángulo su área queda determinada por:
A(y) = BASE·ALTURA
ALTURA = y
BASE = (x2-x1)
donde , despejando de las rectas:
x2 = (y-d)/c
x1 = y/a
Por tanto:
A(y) = y·((y-d)/c-y/a) = y·(ay-ad-cy) = (a-c)·y^2 -ad·y
Derivando A'(y) = 2(a-c)y - ad = 0
De donde: y = ad/(2(a-c))
Esta es la solución, pues se cumple la restricción de que y es menor que la altura.
La altura h del triángulo es la coordenada y del punto donde se cortan las rectas:
ax=cx+d => x = d/(a-c) =>
h=ad/(a-c)
Luego el rectángulo que se pide es el rectángulo cuya altura mide la mitad que la base, es decir, en el caso particular que das, 1m. No se puede hallar el área del rectángulo en este caso, pues no poseemos todos los datos: suponiendo que el triángulo es isósceles:
a=1
c=-1
d=4m
Y ahora: y = ad/(2(a-c))=4m/(2(1-(-1))= 1m, como se dijo
Pero además: x1 = y/a = 1m, x2 = (y-d)/c = (1m-4m)/(-1) = 3m
Luego la base del rectángulo mide 3m-1m = 2m
El área máxima de un rectángulo inscrito en el triángulo es entonces de 2 m^2.
Supongamos el eje POR situado sobre la base del triángulo y el eje Y perpendicular pasando por el vértice izquierdo de la base. Supongamos que los lados del triángulo (que no son la base) vienen dados por dos rectas que se cortan:
y=ax
y=bx+c
donde 0<a<infinito, -infinito<b<0, y c>0
Entonces, dada la altura y del rectángulo su área queda determinada por:
A(y) = BASE·ALTURA
ALTURA = y
BASE = (x2-x1)
donde , despejando de las rectas:
x2 = (y-d)/c
x1 = y/a
Por tanto:
A(y) = y·((y-d)/c-y/a) = y·(ay-ad-cy) = (a-c)·y^2 -ad·y
Derivando A'(y) = 2(a-c)y - ad = 0
De donde: y = ad/(2(a-c))
Esta es la solución, pues se cumple la restricción de que y es menor que la altura.
La altura h del triángulo es la coordenada y del punto donde se cortan las rectas:
ax=cx+d => x = d/(a-c) =>
h=ad/(a-c)
Luego el rectángulo que se pide es el rectángulo cuya altura mide la mitad que la base, es decir, en el caso particular que das, 1m. No se puede hallar el área del rectángulo en este caso, pues no poseemos todos los datos: suponiendo que el triángulo es isósceles:
a=1
c=-1
d=4m
Y ahora: y = ad/(2(a-c))=4m/(2(1-(-1))= 1m, como se dijo
Pero además: x1 = y/a = 1m, x2 = (y-d)/c = (1m-4m)/(-1) = 3m
Luego la base del rectángulo mide 3m-1m = 2m
El área máxima de un rectángulo inscrito en el triángulo es entonces de 2 m^2.
Gracias, buen esfuerzo. De todas maneras encontré ya una solución algo más fácil, que consistía en darse cuenta de que el triángulo inicial y el superior formado con base el lado superior del rectángulo son semejantes... Un dibujo lo diría mejor, pero vamos... Lo dicho, gracias