Inducción
Hola, estoy haciendo unos ejercicios y demostrando con el método de inducción matemática, y hay uno que no puedo hacer. Ojalá me puedas ayudar, es el siguiente:
- Demostrar por inducción que el número de puntos en que se cortan "n" rectas del plano sin que haya 2 paralelas ni 3 concurrentes esta dado por n(n-1)/2.
De antemano muchas gracias...
R.N.
- Demostrar por inducción que el número de puntos en que se cortan "n" rectas del plano sin que haya 2 paralelas ni 3 concurrentes esta dado por n(n-1)/2.
De antemano muchas gracias...
R.N.
Respuesta de joseramos7
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Vamos allá:
Primero debe comprobarse que es cierto para n=2. Dos rectas en esas condiciones se cortan en un punto. Si sustituimos n por 2 vemos, en efecto que el resultado es 1. Para n=2 se cumple.
Lo suponemos cierto para n-1 y tenemos que probarlo para n.
(En eso consiste el método de inducción como ya sabes)
Como es cierto para n-1, eso quiere decir que n-1 rectas en las condiciones dadas se cortan en un número de puntos igual a (se sustituye en la fórmula anterior n por n-1) (n-1)(n-2)/2.
Ahora lo pruebo para n. Añadimos una recta más y dicha recta tiene que cortar a las n-1 restantes en un punto distinto en cada una de ellas (necesariamente tiene que cortar a todas, sino habría paralelas y eso no está permitido y en segundo lugar no puede cortar a dos en el mismo punto sino tendríamos tres concurrentes lo cual tampoco me permiten las condiciones del problema). En consecuencia el número de puntos que tengo ahora son (n-1)+los que tenía antes, es decir (n-1)+[(n-1)(n-2)/2]. Si efectúas esta suma verás que da:
[2(n-1)+(n-1)(n-2)]/2 y si extraes factor común en el numerador a n-1, obtienes:
[(n-1)(2+n-2)]/2 que ¡eureka! es igual a (n-1)n/2 que es lo que quería demostrar.
Primero debe comprobarse que es cierto para n=2. Dos rectas en esas condiciones se cortan en un punto. Si sustituimos n por 2 vemos, en efecto que el resultado es 1. Para n=2 se cumple.
Lo suponemos cierto para n-1 y tenemos que probarlo para n.
(En eso consiste el método de inducción como ya sabes)
Como es cierto para n-1, eso quiere decir que n-1 rectas en las condiciones dadas se cortan en un número de puntos igual a (se sustituye en la fórmula anterior n por n-1) (n-1)(n-2)/2.
Ahora lo pruebo para n. Añadimos una recta más y dicha recta tiene que cortar a las n-1 restantes en un punto distinto en cada una de ellas (necesariamente tiene que cortar a todas, sino habría paralelas y eso no está permitido y en segundo lugar no puede cortar a dos en el mismo punto sino tendríamos tres concurrentes lo cual tampoco me permiten las condiciones del problema). En consecuencia el número de puntos que tengo ahora son (n-1)+los que tenía antes, es decir (n-1)+[(n-1)(n-2)/2]. Si efectúas esta suma verás que da:
[2(n-1)+(n-1)(n-2)]/2 y si extraes factor común en el numerador a n-1, obtienes:
[(n-1)(2+n-2)]/2 que ¡eureka! es igual a (n-1)n/2 que es lo que quería demostrar.
