Matrices
Hola, puedes ayudarme con lo siguiente:
sean A=B+C ; B,C pertenecen a Mn(R) tales que C^2=0 y BC=CB. Demuestre que para p pertenece a los naturales se tiene A^(p+1) = (B^p) [B+(p+1)C].
sean A=B+C ; B,C pertenecen a Mn(R) tales que C^2=0 y BC=CB. Demuestre que para p pertenece a los naturales se tiene A^(p+1) = (B^p) [B+(p+1)C].
Respuesta de bizco
1
Como p es natural y se cumple que A=B+C (I), entonces
A^p = B^(p-1)[B+pC] (II)
Luego:
A^(p+1) = AA^p
= AB^(p-1)[B+pC] por (II)
= (B+C)B^(p-1)[B+pC] distribuyendo
= (BB^(p-1)[B+pC] + CB^(p-1))[B+pC] por distributiva
= B^p[B+pC] + B^(p-1)C[B+pC]
= B^p[B+pC] + B^(p-1)[BC+pC^2] como C^2=0
= B^p[B+pC] + B^(p-1)BC
= B^p[B+pC] + B^pC
= B^p[B+pC+C]
= B^p[B+(p+1)C]
Hasta pronto y suerte, más tarde te envío la otra respuesta que me pides.
A^p = B^(p-1)[B+pC] (II)
Luego:
A^(p+1) = AA^p
= AB^(p-1)[B+pC] por (II)
= (B+C)B^(p-1)[B+pC] distribuyendo
= (BB^(p-1)[B+pC] + CB^(p-1))[B+pC] por distributiva
= B^p[B+pC] + B^(p-1)C[B+pC]
= B^p[B+pC] + B^(p-1)[BC+pC^2] como C^2=0
= B^p[B+pC] + B^(p-1)BC
= B^p[B+pC] + B^pC
= B^p[B+pC+C]
= B^p[B+(p+1)C]
Hasta pronto y suerte, más tarde te envío la otra respuesta que me pides.
