Inecuaciones

- raiz(x^2+x+1) - raiz(x^2-1) < 1
=> -raiz(x^2+x+1)<raiz(x^2-1)+1 (elvando al cuadrado)
=> x^2+x+1 < x^2-1 + 1 + 2raiz(x^2-1)
=> x < 2raiz(x^2-1) - 1
=> x+1 < 2raiz(x^2-1) (al cuadrado)
=> x^2+2x+1 < 4x^2 - 4
=> 3x^2 - 2x - 5 > 0
Es una parábola, luego podemos calcular sus raíces, donde corta al eje X:
2 +(o -) raiz(4+60)
------------------- ==>
6
x1 = (2+8)/6 = 5/3
x2 = (2-8)/6 = -1
La parábola puede estar boca arriba o boca abajo. Se evalúa la derivada segunda en el punto medio de las raíces (el eje de la parábola):
x0 = (x1+x2)/2 = (5/3-1)/2 = 2/6
La derivada segunda es:
f'(x) = 6x - 2
f''(x) = 6
f'(2/3)=6·2/6 - 2 = 0, como cabía esperar
Y como f''(x)=6>0 significa que la parábola está boca arriba. Y esto significa que los puntos positivos de la parábola están a la izquierda y la derecha de las raíces, es decir: la solución es:
Los x<-1 (izquierda) junto con los x>2/3 (parte derecha)
Si hubiera estado boca abajo, entonces los puntos positivos serían los del medio, entre -1 y 2/3.
Si quieres, la regla general para saber si una parábola ax^2+bx+c está boca arriba o boca abajo es:
Si 2a > 0 ==> boca abajo
Si 2a < 0 ==> boca arriba