Necesito que me ayudéis a resolver este problema de ecuaciones de la recta
Me dieron este problema para resolver, que no entiendo:
si H: 2x-y+3z=5 ; L: x= k(3,5,1)+(0,1,2)
a)Resolver interseccion entre H y L
b) si H2: x+3y-z=2
Interseccion entre H y H2
si H: 2x-y+3z=5 ; L: x= k(3,5,1)+(0,1,2)
a)Resolver interseccion entre H y L
b) si H2: x+3y-z=2
Interseccion entre H y H2
Respuesta de mikel1970
2
Son problemas de geometría en los que sólo hay que saber qué expresa cada relación
H:2x-y+3z=5
Esta es la ecuación de un plano, que se representa mediante una ecuación
Ax+By+Cz+D=0
L:x=k(3,5,1)+(0,1,2)
Esta es la ecuación vectorial de una recta que pasa por el punto A(0,1,2) y está dirigida por el vector v=(3,5,1)
Dada una recta que pasa por un punto A(pero, yo, zo) y está dirigida por un vector director v=(vx, vy, vz), las ecuaciones paramétricas son
x=xo+k*vx
y=yo+k*vy
z=zo+k*vz
En tu caso
x=0+3k
y=1+5k
z=2+k
Despejando k de todas las ecuaciones e igualando
x/3=(y-1)/5=(z-2)/1
Multiplicando en cruz dos de los términos
x/3=(y-1)/5
5x=3(y-1)
5x=3y-3
5x-3y=-3
x/3=(z-2)
x=3(z-2)
x=3z-6
x-3z=-6
Luego la recta se puede poner como dos ecuaciones (corte entre dos planos
5x-3y=-3
x-3z=-6
Para calcular ahora el corte entre el plano y la recta (un punto), sólo hemos de resolver el sistema formado por la ecuación del plano y las ecuaciones de la recta
2x-y+3z=5
5x-3y=-3
x-3z=-6
Para resolverlo hay varios métodos (Gauss, Crammer,...), aunque lo vamos a hacer por sustitución
2º 3y=5x+3-->y=(5/3)x+1
3º 3z=x+6-->z=(1/3)x+2
Llevando esto a la 1º
2x-(5/3)x-1+x+6=5
Multiplicando por 3
6x-5x-3+3x+18=15
4x=0-->x=0
y=(5/3)0+1=1
z=(1/3)0+2=2
Luego la solución es
x=0
y=1
z=2
El corte es el punto (0,1,2)
Para comprobar que es cierto, si sustituómos en el plano
2x-y+3z=2*0-1+3*2=5
También pertenece a la recta, pues es precisamente el punto que conocíamos de la recta (por casualidad, no siempre ha de darnos tal punto)
b)H:2x-y+3z=5
H2:x+3y-z=2
Ahora tenemos la intersección de dos planos. En este caso dos planos se cortan en una recta que será la solución del sistema. Obviamente tenemos dos ecuaciones con tres incógnitas y el sistema es compatible indeterminado.
Puedes decir simplemente que la intersección es la recta de ecuaciones
2x-y+3z=5
x+3y-z=2
o sacar un punto y vector de la recta. Para ello parametrizamos una variable
2x-y=5-3z
x+3y=2+z
Multiplicando la segunda por -2 y sumando
2x-y=5-3z
-2x-6y=-4-2z
-------------
-7y=1-5z
y=(-1/7)+(5/7)z
Multiplicando la primera por 3 y sumando
6x-3y=15-9z
x+3y=2+z
-----------
7x=17-8z
x=(17/7)-(8/7)z
Es decir nos quda
x=(17/7)-(8/7)t
y=(-1/7)+(5/7)t
z=0+t
Es decir nos queda una recta que pasa por el punto A(17/7,-1/7,0) y está dirigida por un vector (-8/7,5/7,1).
Como vector puedes coger éste o cualquiera proporcional, como el (-8,5,7), pues tiene la misma dirección. (Cuidado, al punto no puedes hacer eso, sólo a los vectores)
Espero que te sirva. Repasa las operaciones por si hay algún error.
H:2x-y+3z=5
Esta es la ecuación de un plano, que se representa mediante una ecuación
Ax+By+Cz+D=0
L:x=k(3,5,1)+(0,1,2)
Esta es la ecuación vectorial de una recta que pasa por el punto A(0,1,2) y está dirigida por el vector v=(3,5,1)
Dada una recta que pasa por un punto A(pero, yo, zo) y está dirigida por un vector director v=(vx, vy, vz), las ecuaciones paramétricas son
x=xo+k*vx
y=yo+k*vy
z=zo+k*vz
En tu caso
x=0+3k
y=1+5k
z=2+k
Despejando k de todas las ecuaciones e igualando
x/3=(y-1)/5=(z-2)/1
Multiplicando en cruz dos de los términos
x/3=(y-1)/5
5x=3(y-1)
5x=3y-3
5x-3y=-3
x/3=(z-2)
x=3(z-2)
x=3z-6
x-3z=-6
Luego la recta se puede poner como dos ecuaciones (corte entre dos planos
5x-3y=-3
x-3z=-6
Para calcular ahora el corte entre el plano y la recta (un punto), sólo hemos de resolver el sistema formado por la ecuación del plano y las ecuaciones de la recta
2x-y+3z=5
5x-3y=-3
x-3z=-6
Para resolverlo hay varios métodos (Gauss, Crammer,...), aunque lo vamos a hacer por sustitución
2º 3y=5x+3-->y=(5/3)x+1
3º 3z=x+6-->z=(1/3)x+2
Llevando esto a la 1º
2x-(5/3)x-1+x+6=5
Multiplicando por 3
6x-5x-3+3x+18=15
4x=0-->x=0
y=(5/3)0+1=1
z=(1/3)0+2=2
Luego la solución es
x=0
y=1
z=2
El corte es el punto (0,1,2)
Para comprobar que es cierto, si sustituómos en el plano
2x-y+3z=2*0-1+3*2=5
También pertenece a la recta, pues es precisamente el punto que conocíamos de la recta (por casualidad, no siempre ha de darnos tal punto)
b)H:2x-y+3z=5
H2:x+3y-z=2
Ahora tenemos la intersección de dos planos. En este caso dos planos se cortan en una recta que será la solución del sistema. Obviamente tenemos dos ecuaciones con tres incógnitas y el sistema es compatible indeterminado.
Puedes decir simplemente que la intersección es la recta de ecuaciones
2x-y+3z=5
x+3y-z=2
o sacar un punto y vector de la recta. Para ello parametrizamos una variable
2x-y=5-3z
x+3y=2+z
Multiplicando la segunda por -2 y sumando
2x-y=5-3z
-2x-6y=-4-2z
-------------
-7y=1-5z
y=(-1/7)+(5/7)z
Multiplicando la primera por 3 y sumando
6x-3y=15-9z
x+3y=2+z
-----------
7x=17-8z
x=(17/7)-(8/7)z
Es decir nos quda
x=(17/7)-(8/7)t
y=(-1/7)+(5/7)t
z=0+t
Es decir nos queda una recta que pasa por el punto A(17/7,-1/7,0) y está dirigida por un vector (-8/7,5/7,1).
Como vector puedes coger éste o cualquiera proporcional, como el (-8,5,7), pues tiene la misma dirección. (Cuidado, al punto no puedes hacer eso, sólo a los vectores)
Espero que te sirva. Repasa las operaciones por si hay algún error.
