Demostrar que las rectas
demostrar que las rectas 2x-y-1=0, x-8y+37=0, 2x-y-16=0, y, x-8y+7=0, forman un paralelogramo y hallar las ecuaciones de sus diagonales.
Un paralelogramo es la figura que formada por cuatro rectas paralelas dos a dos.
Tendremos que ver si hay dos parejas de paralelas.
Dada la ecuación en forma
Ax+By + C = 0
Dx+Ey +F = 0
Serán paralelas si son proporcionales los coeficientes de A y B con D y F
A/D = B/F
Naturalmente dentro de esto entre cuando A=D y B=F porque nos daría
1=1
Y eso es lo que pasa en las rectas que nos han dado
2x-y-1 =0 es paralela a 2x-y-16=0
x-8y+37=0 es paralela a x-8y+7 =0
Para calcular las diagonales hay que resolver ecuaciones por un tubo.
2x-y-1 = 0
x-8y+37 = 0
multiplico la segunda por -2 y la sumo a la primera
0x + 15y -75 = 0 ==> y = 5
x -40 +37 = 0 ==>x = 3
Ese vértice es (3, 5)
Ahora, para el vértice opuesto la intersección de las otras doa rectas
2x-y-16 = 0
x-8y+7 = 0
La segunda multiplicada por -2 se la sumo a la primera
0x +15y -30 = 0 ==> y = 2
x -16 + 7 = 0 ==> x = 9
El vértice opuesto es (9.2)
Ahora para otro vértice cogemos una recta de cada lado
2x-y-1 = 0
x - 8y + 7 = 0
Segunda por -2 la sumo a la primera
0x +15y -15 = 0 ==> y = 1
x -8 + 7 = 0 ==> x = 1
El punto (1,1) es otro vértice
Y su opuesto tomando las otras dos rectas
2x - y - 16 = 0
x - 8y + 37 = 0
Segunda por -2 se suma a la primera
0x +15y -90 = 0 ==> y = 6
x -48+37 = 0 ==> x = 11
Y el punto (116) su opuesto
Luego una diagonal es la que pasa por (3,5) y (9,2)
La otra la que pasa por (1,1) y (11,6)
La primera diagonal es:
(x-3)/(9-3) = (y-5)/ (2-5)
(x-3)/6 = -(y-5)/3
3x -9 = -6y +30
3x+6y-39 = 0
x + 2y -13 = 0
Y la segunda es:
(x-1)/(11-1) = (y-1)/(6-1)
(x-1)/10 = (y-1)/5
5x - 5 = 10 y -10
5x -10y + 5 = 0
x - 2y + 1 = 0
Y la comprobación es que he hecho la gráfica y está bien hecho. Eso es todo.
