Demostrar que uno al cubo mas dos al cubo mas tres al cubo...

Supongo que se podrá demostrar por inducción

Para n= tenemos 1^3 = 1^2 luego se cumple

Ahora supongamos que se cumple para n

1^3 + 2^3 + 3^3 + …+ n^3 = (1 + 2 + 3 + …+n)^2

veamos que se cumple para n+1

1^3 + 2^3 + 3^3 + …+ n^3 + (n+1)^3= (1 + 2 + 3 + …+n)^2 + (n+1)^3 =

(1 + 2 + 3 + …+n)^2 + (n+1)(n+1)^2 =
(1 + 2 + 3 + …+n)^2 + n(n+1)^2 + (n+1)^2

Ahora demostremos aparte que

n(n+1)^2 = 2(1+2+3+...+n)(n+1)

n(n+1) = 2(1+2+3+... +n)

n(n+1)/2 = 1+2+3+...+n

Lo cual es cierto porque es la fórmula de la suma de los n primeros elementos de una sucesión aritmética

entonces tenemos

1^3 + 2^3 + 3^3 + …+ n^3 + (n+1)^3 =

(1 + 2 + 3 + …+n)^2 + 2(1+2+3+...+n)(n+1) + (n+1)^2 =

esto es la formula de un cuadrado perfecto

= [(1+2+3 +...n)+ (n+1)]^2

Luego la fórmula es valida para n+1 y queda demostrada la inducción.

Y eso es todo.