Teorema fundamental
Hola Dark_man,
Estoy intentando encontrar una formalización sencilla del teorema fundamental de la aritmética pero el único que he conseguido no me convence ya que empieza diciendo que el número 1 es primo por definición, lo que creo que es erróneo. Por ello agradecería que me indicases como lo puedo poner en lenguaje matemático o donde encontrarlo.
Esta es la que yo tengo: Cualquier número entero, distinto de cero, puede ser representado como producto de números primos, siendo la descomposición en factores única. Para ello usaremos el principio de inducción:
a) Para n = 1, 1 = 1 (el 1 se considera primo por definición).
b) Supongamos que para todos los números positivos m, menores que n, es cierta la posibilidad de descomposición en factores primos y demostrémoslo para el número n.
Si n es primo, n = n.
Si n es compuesto, n = p * q, siendo p < n y q < n.
Como en b) hemos aceptado que todos los números menores que n se pueden descomponer en factores primos
p = p1 * p2 * . * pr
q = q1 * q2 * ... * qs
Entonces ya hemos obtenido la descomposición de n en factores primos:
n = p1 * p2 * ... * pr * q1 * q2 * ... * qs
Estoy intentando encontrar una formalización sencilla del teorema fundamental de la aritmética pero el único que he conseguido no me convence ya que empieza diciendo que el número 1 es primo por definición, lo que creo que es erróneo. Por ello agradecería que me indicases como lo puedo poner en lenguaje matemático o donde encontrarlo.
Esta es la que yo tengo: Cualquier número entero, distinto de cero, puede ser representado como producto de números primos, siendo la descomposición en factores única. Para ello usaremos el principio de inducción:
a) Para n = 1, 1 = 1 (el 1 se considera primo por definición).
b) Supongamos que para todos los números positivos m, menores que n, es cierta la posibilidad de descomposición en factores primos y demostrémoslo para el número n.
Si n es primo, n = n.
Si n es compuesto, n = p * q, siendo p < n y q < n.
Como en b) hemos aceptado que todos los números menores que n se pueden descomponer en factores primos
p = p1 * p2 * . * pr
q = q1 * q2 * ... * qs
Entonces ya hemos obtenido la descomposición de n en factores primos:
n = p1 * p2 * ... * pr * q1 * q2 * ... * qs
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La demostración es totalmente correcta y usa el principio de inducción, que es un axioma de los números naturales, a su vez un axioma de la teoría de conjuntos, por lo tanto, es muy básico y se debería aceptar. Tampoco utilizas el axioma de la elección, pues eso sólo es en el caso de utilizar el principio de inducción transfinita.
Pero debo aclarar algo: al utilizar el principio de inducción, no se trata de que uno considere algo por definición o no: primero hay que establecer qué es lo que se entiende por número primo. En este caso has considerado el conjunto N={1,2,3,...} como conjutno universal. Luego has considerado la definición siguiente de primalidad: "x es primo si y sólo si x es un número entero positivo divisible sólo por sí mismo y por la unidad" Y la propiedad que has considerado sobre N es P(x):"x se puede descomponer en un número finito de factores primos". Por tanto, P(1) es verdadero: No hay nada que considerar. Luego has demostrado que para todo x P(x).
Ahora, si hubieras elegido otra definición de primalidad, por ejemplo, obligando a que x>1. Entonces, P(x) para todo x se hubiera seguido poder demostrar si se especifica que la descomposición es para todo x excepto para el 1.
Pero debo aclarar algo: al utilizar el principio de inducción, no se trata de que uno considere algo por definición o no: primero hay que establecer qué es lo que se entiende por número primo. En este caso has considerado el conjunto N={1,2,3,...} como conjutno universal. Luego has considerado la definición siguiente de primalidad: "x es primo si y sólo si x es un número entero positivo divisible sólo por sí mismo y por la unidad" Y la propiedad que has considerado sobre N es P(x):"x se puede descomponer en un número finito de factores primos". Por tanto, P(1) es verdadero: No hay nada que considerar. Luego has demostrado que para todo x P(x).
Ahora, si hubieras elegido otra definición de primalidad, por ejemplo, obligando a que x>1. Entonces, P(x) para todo x se hubiera seguido poder demostrar si se especifica que la descomposición es para todo x excepto para el 1.