Porfiz lo necesito de probabilidad y estadísticas

Pues menos mal que me lo has dicho ahora todo bien, porque el 8 que habías puesto antes no tiene nada que ver con el infinito. De todas formas la grafía correcta y que se aplica por ejemplo en los lenguajes de programación es:

f(x) = 1-e^(-2x) para 0 <= x <= infinito

Antes de nada comprobaré que es una función de densidad. No se tendría porque hacer, pero lo hago por si acaso nos han puesto una trampa

$$\begin{align}&\int_0^{\infty}(1-e^{-2x})dx= \left[x+\frac{e^{-2x}}{2} \right]_0^{\infty}= \\ &\\ &\infty+0-0-\frac 12 =\infty\end{align}$$

Pues no es una función de densidad. Eso habría que haberlo dicho ya que la función f(x) con efe en minúscula se asocia siempre a la función de densidad.

Veo que en este caso es una función de distribución, pero se escribe con F en mayúscula para que no se cree la confusión que he tenido o diciendo claramente que es una función de distribución.

Bueno pues mejor, ya que con la función de densidad hay que hacer integrales para calcular la probabilidad de un intervalo, mientras que con la distribución hay que hacer simplemente restas. Pero antes de nada llamaré F(x) a esta función. Y en sucesivos ejercicios trascríbelos tal cual están, con todas las letras para saber si la función es de densidad o de distribución y con mayúscalas si son mayúsculas o minúsculas si son minúsculas.

La probabilidad de un intervalo [a, b] conocida la función de distribución y siendo continua es

P[a, b] = F(a) - F(b)

Si F es continua esa misma operación sirve para intervalos abiertos, semiabiertos y semicerrados

a) P(-1, 1) = F(1) - F(-1) =

Aquí hay un detalle a tener en cuenta, para x<0 es F(x)=0, no nos liemos y vayamos a usar la función 1-e^(-2x). Luego F(-1) = 0

= F(1) - 0 = 1 - e^(-2) = 0.8646647

b) P[0.5, 1] = F(1) - F(0.5) =

Esta vez si se usa la función de distribución de valores positivos

= 1 - e^(-2·1) - [1 -e^(-2·0.5)] = -e^(-2) + e^(-1) = 0.2325441579

Y eso es todo.