Ecuación Diferencial por el Método de Coeficientes indeterminados

Buscamos primero la solución general de la ecuación homogénea.

y'' + y' - 6y = 0

La ecuación característica es

k^2 + k - 6 = 0

las soluciones son

k = [-1 +- sqrt(1+24)] / 2 = [-1 +- 5] / 2 = 2 y -3

Luego la solución general de la homogénea es

y = Ae^(2x) + Be^(-3x)

Y ahora hay que hallar una solución particular de la ecuación completa por el método de coeficientes indeterminados

Cuando la función de la derecha de la ecuación es de la forma

f(x) = P(x) e^(ax)

Donde a no es raíz de la ecuación característica, hay que buscar una solución de la forma

y = Q(x)e^(ax)

Donde Q es un polinomio del mismo grado que P pero con los coeficientes indeterminados

En nuestro caso a=0 que no es raíz de la ecuación característica que eran 2 y -3. Y la solución particular a probar será

y = Cx + D

entonces

y'' + y' - 6y = 2x

0 + C - 6(Cx + D) = 2x

C - 6Cx - 6D = 2x

-6Cx + (C-6D) = 2x

Es una igualdad polinomial luego deben ser iguales los coeficientes de cada monomio

-6C = 2

C-6D = 0

Y resolvemos

C = -2/6 = -1/3

-1/3 - 6D = 0

6D = 1/3

D = 1/18

Luego la solución particular es

y = -x/3 + 1/18

Y la solución general de la ecuación completa es la general de la homogénea mas la particular de la completa, esta de aquí:

y = Ae^(2x) + Be^(-3x) - x/3 + 1/18

Y como siempre que resuelvo una ecuación diferencial, no me fío de la respuesta hasta que no la compruebo

y' = 2Ae^(2x) - 3Be^(-3x) - 1/3

y'' = 4Ae^(2x) + 9Be^(-3x)

y" + y' - 6y = 4Ae^(2x) + 9Be^(-3x) + 2Ae^(2x) - 3Be^(-3x) - 1/3 - 6( Ae^(2x) + Be^(-3x) - x/3 + 1/18) =

4Ae^(2x) + 2Ae^(2x) - 6Ae^(2x) + 9Be^(-3x) - 3Be^(-3x) - 6Be^(-3x) -1/3 +1/3 +2x =

2x

Luego está bien.