Estadística para negocios
9.- Una agencia de investigación de mercados asegura que las familias que viven en Lomas de Coyotepec tienen un ingreso promedio de $11200.00 mensuales. Para verificar esta cifra; se tomo una muestra aleatoria de 150 familias, la cual proporciono una media de $11000.00 mensuales con una desviación estándar de $2000.00.
A) Formular el planteamiento de la hipótesis para probar los resultados.
B) ¿Son compatibles los resultados de la muestra con los de la agencia, a un nivel de significación del 2%?
C) Determina el valor del error tipo II si el ingreso real mensual promedio es de $11100.00 y el mismo nivel de significación.
1 Respuesta
A) La hipótesis nula sera
H0: media=11200
Y la alternativa
Ha: media distinta de 11200
Consiste en comprobar si la media de la muestra se encuentra dentro del intervalo de confianza para la media de centro 11200 con el nivel de confianza que nos pidan. Si lo está se mantiene H0, si cae fuera de ese intervalo se rechaza H0 y se adopta la hipótesis alternativa Ha.
B)
Puesto que Ha puede verificarse tanto por un ingreso medio inferior como superior a 11200 ese intervalo de rechazo lo dividimos en dos partes y quedará un 1% de rechazo por la derecha y otro tanto por la izquierda. El coeficiente de confianza se llama z sub alfa/2 que en este caso será
Z sub 0.01 y su valor es aquel que corresponde a 0.99 en la tabla N(0,1)
Mirando e interpolando corresponde a 2.3267
Entonces el intervalo de confianza se resuelve por la fórmula
$$\begin{align}&I=\left(\overline X_0-z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n},\overline X_0+z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n} \right)=\\ &\\ &\\ &\left(11200-2.3267 \frac{2000}{\sqrt {150}},11200+2.3267 \frac{2000}{\sqrt {150}} \right)=\\ &\\ &\\ &(10820.05,\;11579.95)\end{align}$$La media obtenida en la muestra es 11100 que está dentro del intervalo de confianza, luego se mantiene la hipótesis H0. Los resultados de la muestra son compatibles con los de la agencia.
C) Determina el valor del error tipo II si el ingreso real mensual promedio es de 11100 y el mismo nivel de significación
El error de tipo II se produce se acepta H0 siendo Ha verdadera
Se aceptaba H0 entre 10820.05 y 11579.95. Veamos cuánta probabilidad hay en la distribución normal verdadera que sigue la media X_ ~ N(11100,2000/sqrt(150)) entre esos dos límites
P(10820.05 <= X_ <= 11579.95) =
tipificamos a una Z ~N(0,1) restando la media y dividiendo por la desviación
P[(10820.05-11100) / (2000/sqrt(150)) <= Z <= (11579.95-11100)/(2000/sqrt(150) ] =
P(-1.101964 <= Z <= 3.55145) =
P(Z<=3.55145) - P(Z<=-1.101964) =
P(Z<=3.55145) - [1 - P(Z<=1.101964)]=
El 3.55 ni siquiera sale en las tablas por grande, calculado con Excel es
0.99980844 - 1 + P(Z<=1.101964) =
Tabla(1.10) = 0.8643
Tabla (1.11) = 0.8655
valor interpolado = 0.8643 + 0.1964(0.8655-0.8643) = 0.86453568
= 0,99980844 - 1 + 0.86453568 = 0.86434412
Y ese es el error de tipo II que se produce
Y eso es todo.
