Calcular el volumen sólido al girar la región limitada por las curvas dadas alrededor del eje x
Calculé el área de la región
$$y=x\sqrt{x^2-9}, y=0, x=5$$y me dio el resultado de
$$\int^5_5(x\sqrt {(x^2-9-0)}dx=0 \int(x\sqrt {(x^2-9-0)}dx=\frac{1}{3}(x^2-9)^\frac{3}{2}+C$$Pero me piden calcular el volumen sólido al girar la región limitada por las curvas dadas alrededor del eje x
1 respuesta
¡Bravo! Creo que sobre el eje X si se puede hacer. Y no hace falta cambiar la función ya que ahora tiene que ser y=f(x)
Lo que me parece es que falta algún límite para la x por la izquierda, pero mejor hago la gráfica para asegurarme.
No, no hacia falta, es que entre -3 y 3 no está definida la función y de -3 hacia la izquierda es negativa. Luego que perfectamente delimitada la zona que gira. Y esta vez el volumen va a ser directamente la integral. Los límites de integración son x=3 y x=5. El primero porque ahí es donde se cierra la función valiendo cero y el segundo porque nos lo han dicho.
$$\begin{align}&V=\pi\int_3^5 x^2(x^2-9)dx=\\ &\\ &\pi\int_3^5(x^4-9x^2)dx=\\ &\\ &\pi\left[ \frac{x^5}{5}-3x^3 \right]_3^5=\\ &\\ &\pi\left(625-375-\frac{243}{5}+81\right)=\\ &\\ &\pi\left(331-\frac{243}{5}\right)=\pi\left(\frac{1655-243}{5}\right)=\\ &\\ &\frac{1412\pi}{5}\end{align}$$Y eso es todo.
