Encuentra la ecuación de la hipérbola que pasa por los vértices de la elipse

No entiendo la pregunta esta. Ya la resolví hace unos días y la solución era un hipérbola. Te pongo un enlace a ella

Solución que te di

Espero la aclaración y si quieres en todo caso hago la gráfica, pero la respuesta estaba bien. Si tu le has dado esa solución y el profesor te ha dicho que era una circunferencia es que ha tenido un lapsus mental.

Sí yo también pienso que está bien, si me envías la gráfica, la agrego para ver si entiende su error, gracias!

La solución que te di es una hipérbola. Pero al hacer la gráfica me he dado cuenta que pasa por los vértices de la elipse pero sus asíntotas no son esas. Ya he descubierto que el fallo que tuve fue en

4x+3y+41=0 ==> y = -(4/3)x + (41/3)

lo verdadero era

y = -(4/3)x - (41/3)

Y de ahí saldrá la ecuación de otra hipérbola que si va a tener esa asíntotas. Pero ahora tengo que dejar y apagar el ordenador un buen rato. Te mando esto y cuando pueda termino de hacer bien el ejercicio y te mando la gráfica.

Espera.

Pues vamos a encontrar la ecuación correcta de la hipérbola.

La parte de calcular los vértices de la elipse es igual y se llega a

V1 = (11, 3)

V2 = (5, 3)

Ahora cambiamos algo.

El centro de la hipérbola es la intersección de las asíntotas

4x-3y-23=0
4x+3y-41=0

Las sumamos

8x - 64 = 0

x = 8

32 - 3y - 23 =0

3y=9

y=3

Luego el centro de la hipérbola es (8,3)

Al ser el centro (8,3) y pasar la hipérbola por los puntos simétricos V1(11, 3) y V3(5, 3), estando los tres en horizontal, significa que el eje longitudinal es paralelo al eje X, ya que de los ejes longitudinal y perpendicular que pasan por el centro, el longitudinal es el que corta a dos puntos simétricos de la hipérbola y el perpendicular no corta a ninguno

Entonces tenemos que la hipérbola será de la forma

$$\begin{align}&\frac{(x-8)^2}{a^2}-\frac{(y-3)^2}{b^2}=1\\ &\end{align}$$

Y las asíntotas serán

$$\begin{align}&y=3\pm \frac ba(x-8)\\ &\\ &\text {las que nos dan son}\\ &\\ &4x-3y-23=0\\ &4x+3y-41=0\\ &\\ &\text{que puestas en la forma de arriba son}\\ &\\ &y=\frac 43x-\frac{23}{3}=3+\frac 43(x-8)\\ &y=-\frac 43x+\frac{41}{3}=3-\frac 43(x-8)\\ &\\ &\text{luego igualando se obtiene }\frac ba=\frac 43\\ &\end{align}$$

a=3b/4

la otra vez lo puse al reves.

Y la ecuación de la hipérbola será

$$\begin{align}&\frac{(x-8)^2}{\left(\frac{3b}{4}\right)^2}-\frac{(y-3)^2}{b^2}=1\\ &\\ &\text {para que pase por }V_1(11,3)\\ &\\ &\frac{(11-8)^2}{\left(\frac{3b}{4}\right)^2}-\frac{(3-3)^2}{b^2}=1\\ &\\ &\frac{9}{\frac{9b^2}{16}}=1\\ &\\ &\frac{16}{b^2}=1\\ &\\ &b=4\\ &a=3·4/4=3\end{align}$$

Luego la ecuación es

$$\begin{align}&\frac{(x-8)^2}{3^2}-\frac{(y-3)^2}{4^2}=1\\ &\end{align}$$

Esta es la gráfica.

Antes podía tener razón el profe en que la respuesta estaba mal, pero era un hiperboal de todas maneras, no una circunferencia como decía.

Y eso es todo, es un ejercicio que te puedes liar. Y sobre todo lo que me falta a mi es que no tengo un libro de referencia sobre esto, no hago masque buscar y buscar artículos según necesito una cosa concreta y no encuentro el que diga todo lo necesario.