Integración por partes
integral de : x.2^-x e integral de : (1-x).e^-x lo hago por integración por partes pero me trabo en una parte de la resolución
1 Respuesta
La fórmula supongo que la conocerás:
$$\begin{align}&\int udv =uv-\int vdu\\ &\\ &\int x2^xdx=\\ &u = x \implies du=dx\\ &dv=2^xdx \implies v= \frac{2^x}{ln\,2}\\ &\\ &=\frac{x2^x}{ln \,2}-\frac{1}{ln2} \int 2^xdx=\\ &\\ &\frac{x2^x}{ln2}-\frac{2^x}{(ln2)^2}=\frac{2^x}{ln2}\left(x - \frac{1}{ln2}\right)\\ &\end{align}$$La ultima tiene sacado más factor común pero me parece que me quedaría con la penúltima expresión.
$$\begin{align}&\int (1-x)e^{-x}dx=\\ &\\ &u= 1-x \implies du=-dx\\ &dv=e^{-x}dx \implies v=-e^{-x}\\ &\\ &=(x-1)e^{-x}-\int e^{-x}dx=\\ &\\ &(x-1)e^{-x}+e^{-x}=xe^{-x}\end{align}$$Y eso es todo. Si necesitas explicación de algo pregúntame, pero como ves era bastante sencillo.
tengo una única duda en 1/ln2 ?2^xdx esa parte es v.du por q te qda eso?
Uy espera, que la primera la hice mal porque se me olvido poner que el exponente era negativo, voy a repetirla.
$$\begin{align}&\int udv =uv-\int vdu\\ &\\ &\int x2^{-x}dx=\\ &u = x \implies du=dx\\ &dv=2^{-xdx} \implies v=- \frac{2^{-x}}{ln\,2}\\ &\\ &=-\frac{x2^{-x}}{ln \,2}+\frac{1}{ln2} \int 2^{-x}dx=\\ &\\ &-\frac{x2^{-x}}{ln2}-\frac{2^{-x}}{(ln2)^2}=-\frac{2^{-x}}{ln2}\left(x + \frac{1}{ln2}\right)\end{align}$$Si, +(1/lna)$2^(-x)dx es exactamente -vdu
Lo que pasa es que yo ya saque fuera de la integral el signo menos y la constante 1/lna. Es algo tan sencillo que lo hice todo en un paso. Usar el editor de ecuaciones te invita a abreviar estos pasos sencillos porque es un martirio utilizarlo. Cuando has escrito unas pocas líneas ya no te sale lo que escribes y se te hace de noche.
