¿Cual es la prueba de la siguiente relacion?

13 será divisible por 2^70 + 3^70 si esta cantidad es congruente con 0 módulo 13

El pequeño teorema de Fermat dice que si p es un número primo, entonces cada número a coprimo con p verifica

a^(p-1) # 1 (mod p)

Luego 2^12 # 1 (mod 13)

Entonces

(2^12)^5 # 1^5 (mod 13)

2^60 # 1 (mod 13)

Ahora vamos a calcular 2^10 (mod 13)

2^4 = 16 # 3 (mod 13)

2^8 # 3·3 = 9 (mod 13)

2^9 # 2·9 # 18 # 5 (mod 13)

2^10 # 2·5 # 10 (mod 13)

2^70 = 2^60·2^10 # 1·10 # 10 (mod 13)

Y ahora vamos con 3^70

por el teorema de Fermat sale algo similar a lo de antes

3^12 # 1 (mod 13)

y con la misma deducción anterior

3^60 # 1 (mod 13)

Luego la congruencia de 3^70 módulo 13 será la de 3^10 módulo 13

3^2 = 9 # -4 (mod 13)

3^4 # (-4)(-4) # 16 # 3 (mod 13)

3^8 # 3·3 # 9 # - 4 (mod 13)

3^10 = 3^2· 3^8 # (-4)(-4) = 16 # 3 (mod 13)

Luego 3^70 # 3 (mod 13)

Y ahora vamos ya con la suma

2^70 + 3^70 # 10+3 # 13 # 0 (mod 13)

Luego 13 divide a 2^70 + 3^70

Y eso es todo.