Análisis matemático, ejercicios 4

Todo conjunto real no vació acotado superiormente tiene un supremo. Luego existirá un supremo S dentro de los números reales.

Por la propiedad Arquimediana existe un número natural n mayor que S. Restemos a n sucesivas unidades si es necesario hasta que tengamos un número m tal que

m <= S < m +1

M es una cota superior de A, ya que si o lo fuese debería haber un elemento en A con valor m+1 o superior y eso es absurdo porque entonces S no sería cota superior y no podría ser el supremo.

Y como el supremo es la menor cota superior debe ser S <= m

y de esta desigualdad y la de más arriba tenemos S <= m <=S, luego

S = m

Y por lo tanto el supremo pertenece a los enteros.

Y eso es todo.