Problema con Tangente

Gerardo 3090!

Este problema podría ser algo complicado si la parábola fuese una parábola inclinada. Pero más que un ejercicio de geometría o álgebra un poquito superior parece un ejercicio de funciones y rectas simples.

Las parábolas de la forma

f(x) = ax^2 + bx^2+ c

Tienen todas el vértice en su máximo o mínimo y la tangente es una línea horizontal, luego la ecuación de la tangente será de la forma

y=k

Donde k lo tenemos que calcular

Y si fuese una parábola de la forma

x=ay^2+by+c

Él vértice estaría todo a la derecha o todo a la izquierda y la tangente sería x=k

Nos centramos en este caso. Si previamente has hecho la gráfica de la función supongo que habrás calculado el vértice, entonces si el vértice es

(Vx, vy)

La ecuación de la tangente en el vértice es

y=vy

Y con eso está resuelto el ejercicio.

Ahora te diré dos formas de calcular vy por si no lo has hecho o para que lo sepas.

El vértice en una parábola de la forma

f(x) = ax^2+by+c

Tiene como coordenada x el punto intermedio de los cortes de la parábola con el eje X

Fíjate que este caso te han dado la parábola de esta forma

f(x) = -4(x+3)(x-1)

eso significa que los cortes (ya que son valores que hacen 0 la función) son

x=-3

x=1

luego el punto intermedio es

vx = (-3+1)/2 = -1

y la altura del vértice es

vy = f(-1) = -4(-1+3)(-1-1) = -4·2·(-2) = -16

luego el vértice es

(vx, vy) = (-1, -16)

y la recta tangente en el vértice es

y=vy

y=-16

Y la otra forma es cuando te dan la ecuación general. Voy a hacerlo con esta misma puesta en forma general

f(x) = -4(x+3)(x-1)

f(x) = -4x^2 + 4x - 12x + 12

f(x) = -4x^2 - 8x + 12

entonces, dada una parábola

f(x) = ax^2 + bx + c

la coordenada x del vértice es

vx = -b/(2a)

en esta parábola es

vx = -(-8) / [2(-4)] = 8 / (-8) = -1

Es el mismo que antes, luego continuamos de la misma forma que lo hicimos antes y el vértice nos dará (-1, -16) y la tangente es y=-16

Y eso es todo.