Considerando la función tanh x demuestre que

Vamos a expresar la tangente hiperbólica por definición

$$thx=\frac{shx}{chx}=\frac{\frac{e^x-e^{-x}}{2}}{\frac{e^x+e^{-x}}{2}}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$$

Para hallar la inversa se pone y donde la función y hay que despejar x en función de y

$$\begin{align}&y= \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\\ &\\ &y=\frac{e^x}{e^x}·\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}\\ &\\ &y(e^{2x}+1)=e^{2x}-1\\ &\\ &ye^{2x}+y = e^{2x}-1\\ &\\ &ye^{2x}-e^{2x}= -1-y\\ &\\ &e^{2x}(y-1)= -1-y\\ &\\ &e^{2x}=\frac{-1-y}{y-1}= \frac{1+y}{1-y}\\ &\\ &\text{Extraemos logaritmos neperianos}\\ &\\ &2x = ln \left( \frac{1+y}{1-y}\right)\\ &\\ &x= \frac 12ln \left( \frac{1+y}{1-y}\right)\end{align}$$

Y una vez que se ha puesto x en función de y hay que cambiar x por f^1(x) e y por x

$$th^{-1}x= \frac 12ln \left( \frac{1+x}{1-x}\right)$$

Nota: En España la letra "y" se llama i griega, por eso lleva la conjunción "e" en lugar de "y".

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es sí pregúntame. Y si ya está bien, no olvides puntuar.