Demostrar que si se verifica

tga + tgb + tgc =

sena/cosa + senb/cosb + senc/cosc =

(sena·cosb·cosc + cosa·senb·cosc + cosa·cosb·senc) / (cosa·cosb·cosc) =

[cosc·(sena·cosb + cosa·senb) + cosa·cosb·senc] / (cosa·cosb·cosc) =

Hemos conseguido un paréntesis que tiene exactamente la formula de sen(a+b)

= [cosc·sen(a+b) + cosa·cosb·senc] / (cosa·cosb·cosc) =

Los ángulos c y (a+b) son suplementarios luego tienen igual el seno. Por lo tanto sen(a+b)=senc

= (coscsenc + cosa·cosb·senc) / (cosa·cosb·cosc) =

= senc(cosc + cosa·cosb) / (cosa·cosb·cosc) =

sumamos y restamos sena·senb en el primer paréntesis

= senc(cosc+ cosa·cosb - sena·senb + sena·senb) / (cosa·cosb·cosc) =

Dentro del paréntesis tenemos un cos(a+b) en los términos 2º y 3º

= senc[cosc + cos(a+b) + sena·senb] / (cosa·cosb·cosc) =

Los cosenos de ángulos suplementarios son opuestos, luego cos(a+b)=-cosc

= senc(cosc-cosc+sena·senb) / (cosa·cosb·cosc) =

senc(sena·senb) / (cosa·cosb·cosc) =

(sena/cosa)(senb/cosb)(senc/cosc) =

Tga·tgb·tgc

Luego es verdad.