Pregunta de matrices con parámetros
Sean las matrices
A = a 1 B = 1 3 1
-a 3 y -1 4 2
calcule "a" para que
$$A^-1 = A/12$$
1 respuesta
La matriz inversa es la de los adjuntos transpuesta y dividida por el determinante
El determinate es
|A| = 3a - (-a) = 4a
Los adjuntos son los determinantes de la matriz que queda al quitar la fila y columna y multiplicados por -1 si la suma de los subíndices es impar
A11 = 3 A12= a
A21 =-1 A22=a
Transponiendo es
3 -1
a a
y dividiendo por el determinante
$$A^{-1}=\begin{pmatrix}
\frac{3}{4a}&-\frac{1}{4a}\\
&\\
\frac 14 &\frac 14
\end{pmatrix}$$Las matrices deben ser iguales elemento a elemento, luego para que A^-1=A/12 deben cumplirse estas 4 igualdades
3/(4a) = a/12
-1/(4a)=1/12
1/4=-a/12
1/4=3/12
De la tercera despejamos a
1/4= -a/12
12/4 = -a
a=-3
Y comprobamos que se cumplen las otras tres
la primera
3/(-12)= -3/12
-1/4 = -1/4
la tercera
1/4=-(-3)/12
1/4=1/4
Y la cuarta era una igualdad que es verdadera siempre.
Y eso es todo.
