Probabilidad distribución normal
el peso de las personas de una población sigue una distribución normal con media 72 kg y desviación típica de 10. ¿Cuál es la probabilidad de que dos persona elegidas al azar en esa población, puedan jugar en un balancín si sólo pueden hacerlo cuando sus pesos difieren en menos de 5 kg?
1 respuesta
En la teoría tendrás demostrado que la resta de dos variables normales independientes es otra variable normal con media la resta de las medias y con varianza la suma de las varianzas.
Simplemente demostraré lo de la varianza.
V(X-Y) = E[(X-Y)^2] - [E(X-Y)]^2 =
E(X^2) + E(Y^2) - 2E(XY) - [E(X)-E(Y)]*2 =
E(X^2) + E(Y^2) - 2E(XY) - [E(X)]^2 - [E(Y)]^2 + 2E(X)E(Y) =
E(X^2)-[E(X)]^2 + E(Y^2)-[E(Y)]^2 - 2[E(XY)-E(X)E(Y)] =
V(X) + V(Y) - 2Cov(X,Y) =
como son independientes la covarianza es cero y tenemos
= V(X) + V(Y)
Luego
V(X-Y) = V(X)+V(Y)
Como nuestras variables tienen la misma varianza
V(X-Y) = 2V(X)
desviacion(X-Y) = sqrt[2V(X)] = desvacion(X) · sqrt(2)
Entonces para que no haya mas diferencia de kg en el peso se debe cumplir
-5 <= X-Y <= 5
siendo X-Y una N(0, 10·sqrt(2)) = N(0, 14.14213562)
P(-5 <= X-Y <= 5) =
Como la media es cero es simetrrica respecto al cero
2·[P(X-Y<=5)-0.5] =
2·P(Z <= 5/14.14213562) - 1 =
2·P(Z <= 0.35355339) - 1 =
Tabla(0.35) = 0.6338
Tabla(0.36) = 0.6406
Valor interpolado(0.35355339) = 0.6338 + 0.355339(0.6406-0.6338) = 0.636216
= 2 · 0.6362163 - 1 = 0.27243261
Y eso es todo.
