Hallar la longitud del arco de la curva 24 xy = x 4 + 48 , desde x = 2 y x = 4 .

La fórmula para el cálculo del segmento de la función f(x) entre x=a y x= b es

$$L= \int_a^b \sqrt{1+[f´(x)]^2}dx$$

Es una integral que la mayoría de las veces no tiene función primitiva, veamos en este caso.

Supongo que has querido poner

24xy = x^4 + 48

El signo ^ es obligatorio para expresar un exponente, si no, lo que viene detrás es un factor no un exponente.

y = (x^4+48) / (24x)

y = (x^3)/24 + 2/x

y' = (x^2)/8 - 2/x^2

(y')^2 = (x^4)/64 + 4/x^4 - 1/2

1+(y')^2 = (x^4)/64 + 4/x^4 + 1/2

Y aquí viene lo más importante para este ejercicio en concreto, vemos que lo único que cambia con respecto al resultado anterior es que el tercer sumando del trinomio ha cambiado de signo, eso significa que es el cuadrado perfecto del binomio pero con el signo medio cambiado.

Es decir

1+(y')^2 = [(x^2)/8 + 2/x^2]^2

Con lo que el ejercicio estaba preparado para que saliera

$$\begin{align}&L=\int_2^4 \sqrt{\left ( \frac{x^2}{8}+\frac{2}{x^2} \right )^2}dx=\\ &\\ &\\ &\\ &\int_2^4 \left ( \frac{x^2}{8}+\frac{2}{x^2} \right ) dx=\\ &\\ &\\ &\\ &\left [ \frac{x^3}{24}-\frac{2}{x} \right ]_2^4=\\ &\\ &\\ &\frac{64}{24}-\frac{2}{4}-\frac{8}{24}+ \frac{2}{2}=\frac{56}{24}+\frac{1}{2}=\\ &\\ &\\ &\frac{56+12}{24} = \frac{68}{24} = \frac{17}{6} \approx 2,8333...\\ &\\ &\\ &\\ &\end{align}$$

Y eso es todo.