Determinar área comprendida por medio de integrales:

Cuando nos piden el área comprendida entre una curva, dos rectas de la forma x=a, x=b y el eje X y la función es siempre positiva entre a y b, lo que nos piden es la integral definida de la función entre a y b.

Vamos a comprobar si se dan las condiciones.

Los puntos donde la función pasa por el cero son

x^2+6x = 0

x= 0

x+6 = 0

x=-6

Luego los cortes son -6 y 0 y el intervalo [1,4] está todo el en una zona con el mismo signo siempre. Que además vamos a comprobar que es positivo.

Todo eso que he hecho arriba lo podrías haber visto también realizando la gráfica, pero para casos sencillos es mejor saber deducir sin hacer el dibujo.

f(2) = 2^2+6·2 = 16

Luego el área es la integral

$$\begin{align}&Area=\int_1^4(x^2+6x)dx=\\ &\\ &\left[\frac{x^3}{3}+3x^2  \right]_1^4=\frac{64}{3}+48-\frac 13-3=\\ &\\ &\frac{63}{3}+45= \frac{63+135}{3}= \frac{198}{3}=66\end{align}$$

Y eso es todo.