Capitulo 8 estimación estadística 8.3

8.3)

a)

$$\begin{align}&B(\widehat{\theta})=E(\widehat{\theta})-\theta=\\ &E(a\theta+b)-\theta=\\ &aE(\theta)+b-\theta =\\ &a\theta+b-\theta=\\ &(a-1)\theta+b\end{align}$$

b) El estimador será insesgado si el sesgo es cero

$$\begin{align}&E(\widehat{\theta}^*)-\theta = 0\\ &E[f(\widehat{\theta})] = \theta\\ &E[f(a\theta+b)]=\theta\\ &\\ &\text {sabemos que } E(\theta) = \theta\\ &\text {luego una de las formas de consegurirlo es}\\ &f(a\theta+b)=\theta\\ &\\ &Sea\\ &f[g(x)]=x\\ &entonces\\ &f(g[g^{-1}(x)])= g^{-1}(x)\\ &f(x) = g^{-1}(x)\\ &\\ &\text{Luego f es la inversa de g que en nuestro caso es}\\ &g(x)=ax+b\\ &y = ax+b\\ &y-b= ax\\ &x= \frac{y-b}{a}\\ &\\ &\text {Y donde pone } x \text{se pone }g^-1(x)\text { y donde pone y }\\ &\text{se pone x y ya tenemos la inversa}\\ &\\ &g^{-1}(x) = \frac{x-b}{a}\\ &\\ &f(x)=g^{-1}(x) = \frac{x-b}{a}\\ &\\ &\widehat{\theta}^*= f(\widehat{\theta})=\frac{\widehat{\theta}-b}{a}\end{align}$$

Yeso es todo.