Ayuda ecuaciones diferenciales
Se lleva un termómetro de un cuarto a 20 grados C al exterior, donde la temperatura es de 5 Después de un minuto la lectura del termómetro es de 12 grados C. Aplique la ley de Newton del enfriamiento Para responder la pregunta siguiente:
a) Cual será la lectura un minuto más tarde?
b) Cuándo marcará 6 grados cercio?
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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La ley de enfriamiento se expresa asi
$$\begin{align}&T(t) = T_a +(T_0-T_a)e^{-kt}\\ &\\ &\text{Donde T(t) es la temperatura,}\\ &T_a \text{ es la temperatura ambiental}\\ &T_0 \text{ es la temperatura inicial del cuerpo}\\ &\\ &T(5) = 12 =5 + 15e^{-5k}\\ &\\ &7=15e^{-5k}\\ &\\ &\frac{7}{15}= e^{-5k}\\ &\\ &ln \frac{7}{15}=-5k\\ &\\ &k = -\frac{ln(7/15)}{5}= 0.152428\\ &\\ &\text {La fórmula es:}\\ &\\ &T(t) = 5+15e^{-0.152428\,·\,t}\end{align}$$a) 1 minuto más tarde la temperatura será la que indique la fórmula aplicada a t=6
$$\begin{align}&T(6) = 5+15e^{-0.152428\,·\,6}=\\ &\\ &5 + 15e^{-0.914568}=\\ &\\ &5+15·0.4006896616=\\ &\\ &11.0103\,º\,C\end{align}$$b) Ponemos 6 en el lugar de la temperatura y despejaremos t
$$\begin{align}&6 = 5+15e^{-0.152428\,·\,t}\\ &\\ &1 = 15e^{-0.152428\,·\,t}\\ &\\ &\frac{1}{15}= e^{-0.152428\,·\,t}\\ &\\ &ln \frac {1}{15}=-0.152428\,·\,t\\ &\\ &t =-\frac{ln(1/15)}{0.152428}=17,7661 minutos=\\ &\\ &\\ &17min +0.7661·60seg=\\ &\\ &17min\;\,45.97seg\end{align}$$Y eso es todo.
