Demostrar que una sucesión no puede converger hacia dos limites distintos. Muchas gracias.

Es cierto, no puede converger hacia dos límites distintos.

Supón que converge a dos limites distintos L1 y L2

Para todo epsilon > 0 existirá un n1 tal que si

n>n1 ==> |xn-L1| < epsilon

y existirá un n2 tal que si

n>n2 ==> |xn-L2| < epsilon

tomamos como n3 el máximo de los dos y se cumplirá

para todo n > n3 ==> |xn-L1|< epsilon y |xn-L2|epsilon

Ahora tomemos como epsilon este valor

epsilon = |L1 - L2| / 4

existirá un n3 tal que n>n3 ==>

|xn-L1|<|L1- L2|/4

|xn-L2|<|L1-L2|/4

sumamos miembro a miembro

|xn-L1| + |xn-L2| < |L1-L2|/2

Vamos a modificar el orden en el primer valor absoluto

|L1-xn| + |xn-L2| < |L1-L2|/2

y ahora usamos la desigualdad triangular

|L1 - L2| =| L1-xn +xn-L2| <= |L1-xn| + |xn-L2| < |L1-L2|/2

luego

|L1 - L2| < |L1-L2|/2

2|L1 - L2| < |L1-L2|

2 < 1

Luego hemos llegado a un absurdo por suponer que había dos límites distintos, asi que eso no es posible y si existe un límite es único.

Y eso es todo.