Parametrización de Superficies

Yo no tengo ningún libro que trate sobre la parametrización de curvas y superficies. Cuando no se puede despejar alguna variable la parametrización o debe ser un arte o se deben usar técnicas que no conozco.

Pero hay algunas que se pueden deducir con un poco de observación.

La ecuación es

X^2 + 2Y^2 – Z^2 = 1

Si cortamos con un plano horizontal z = k tendremos

x^2 + 2y^2 = 1+k^2

Esto es una elipse cuyo semieje X al cuadrado es el doble que su semieje Y al cuadrado

Una buena parametrización para una elipse de ese tipo será:

x = a·cost

y = [a/sqrt(2)]sent

donde sqrt significa raíz cuadrada. Entonces

z^2 = x^2 + 2y^2 -1

z^2 = a^2cos^2(t) + 2[(a^2)/2]sent -1 =

a^2·cost + a^2·sent -1 = a^2 -1

luego

z = +-sqrt(a^2-1)

Y por tanto la superficie parametrizada por a y t es

S: (a·cost, [a/sqrt(2)]sent, +-sqrt(a^2-1)

La figura es simétrica respecto del plano z=0 si solo tomáramos el valor positivo de z o solo el negativo tendríamos la mitad de la superficie.

Sobre el esbozo ya te dije como era el corte con planos horizontales. Y con verticales con x= k o y = k te van a quedar hipérbolas. La figura es parecida a un cono completo pero en vez de unirse por un vértice hay un hueco en el centro.

El plano tangente estará determinado por los vectores de las derivadas parciales

Sa = (cost, sent/sqrt(2), a/sqrt(a^2-1))

St = (-a·sent, [a/sqrt(2)]cost, 0)

El vector normal se obtiene del producto vectorial

-[a^2/sqrt(2a^2-2)]i - [a^2·sent/sqrt(a^2-1)]j + a·sqrt(2)k

Y el plano tangente se calcula como el que tiene ese vector director y pasa por el punto donde lo estamos calculando. Se está complicando mucho el poder escribirlo aquí de forma que se entienda, mejor si intentas calcularlo tú.

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Desde que estudié hace muchos años no he vuelto a tocar esta rama de la geometría analítica, por eso tampoco puedo hacer mucho más de lo que he hecho. Si ya lo entendiste no olvides puntuar.