Resuelve el problema utilizando máximos y mínimos de la aplicación de la derivada

El cilindro tendrá un radio r y una altura h. Con lo cual su volumen será:

V = Pi·h·r^2

Pero el hecho de estar inscrito en el cono hace que a cada radio del cilindro le corresponde una única altura y viceversa

r=10 ------> h=0

r=0 --------> h=24

Si incrementamos r en 10 dismininuye h en 24

Si incrementamos r en x disminuye h en 24x/10

h = 24 - 24r/10 = (240-24r)/10 = (120-12r)/5

Luego podemos poner el volumen solo en función del radio

V(r) = Pi·[(120-12r)/5]r^2 = (Pi/5)(120r^2 - 12r^3)

Y ahora derivamos e igualamos a 0 para calcular el máximo

V'(r) =(pi/5)(240r -36r^2) = 0

240r - 36r^2 = 0

r(240-36r) = 0

una solución es r=0

y la otra

240 - 36 r = 0

r = 240/36 = 20/3

La derivada segunda es

V''(r) = (pi/5)(240 - 72r)

V''(0) =240pi/5 >0 luego es mínimo

V''(20/3) = (pi/5)(240 -72·20/3) = (pi/5)(720-1440)/3 =-(pi/5)·720/3 <0 luego máximo

Y ahora calculamos la altura

h = (120-12r)/5 = (120 - 12·20/3) / 5 = (120-80)/5 = 8

Luego la solución es

r = 20/3 = 6.6666...

h = 8

Y eso es todo.