¿F(x)=1+x^3/(1+x^2) ¿Puntos extremos, asíntotas, lím f(x) cuando tiende a +inf. -inf y cero?

Pues podemos empezar derivando la función.f´(x)=x^4+3x^2-2x/(1+x^2)^2
Nos fijamos en que existe para toda x, pues el denominador nunca es 0; por lo que la función es continua y derivable en todos los reales. Esto también nos dice que la función no tiene asíntotas paralelas al eje Y.
Nos fijamos los puntos críticos (donde la derivada es 0) para encontrar los máximos y mínimos.
f´(x)=x^4+3x^2-2x/(1+x^2)^2=0
Esto pasa cuando x^4+3x^2-2x=0x(x^3+3x-2)=0.
Las soluciones de esta ecuación son 0 y [((2)^1/2 +1)^1/3] - [1/((2)^1/2 +1)^1/3].
Esto nos da 3 intervalos, hasta el 0 la función es creciente, hasta el número irracional ya mencionado es decreciente, y de ahí en adelante es creciente. Para observar esto, basta valuar la derivada de la función en función en -1, 1/2 y 1; el primer resultado será positivo, el segundo, negativo y el tercero, positivo. Por lo tanto, hay máximo relativo en x=0 y mínimo relativo en x=[((2)^1/2 +1)^1/3] - [1/((2)^1/2 +1)^1/3].
Luego, los límites en 0, inf y -inf:
f(0) es fácil de calcular,
f(0)=1+(0)^3/1+(0)^2=1.

Si calculas la segunda derivada y ves cómo se comporta en (-inf, 0) y ( [((2)^1/2 +1)^1/3] - [1/((2)^1/2 +1)^1/3], inf), verás que la función es cóncava el (-inf, 0) y convexa en ( [((2)^1/2 +1)^1/3] - [1/((2)^1/2 +1)^1/3], inf). Por lo tanto la función diverge cuando x tiende a inf o -inf.

lim f = inf cuando x tiende a inf

lim f = -inf cuando x tiende a -inf

Vemos que como la función diverge de ambos lados, todos los reales forman parte de su imagen, por lo que no hay asíntotas paralelas al eje X.

No entendí muy bien tu pregunta sobre el teorema de Rolle, pero este teorema dice que si tienes una función f continua en [a,b], derivable en (a,b) y f(a)=f(b), existe una c entre a y b tal que f´(c)=0.

Espero que te sea de utilidad, perdón por la longitud de la respuesta. Es mi primera vez participando aquí.