¿Dudas sobre sumas superiores e inferiores, definición de integral?

Es bastante sencillo. La función x^2 es creciente en [0,1]. Tal como se toman los subíndices tenemos

$$\begin{align}&x_{i-1}\le x_i\\ &\\ &\text{de esto se deducen dos cosas}\\ &\\ &x_{i-1}x_{i-1}\le x_{i-1}x_i\\ &\\ &x_{i-1}^2\le x_{i-1}x_i\\ &\\ &\text{y la otra}\\ &\\ &x_{i-1}x_i \le x_i^2\\ &\\ &Luego\\ &\\ &x_{i-1}^2\le x_{i-1}x_i \le x_i^2\\ &\\ &3x_{i-1}^2 \le x_{i-1}^2+ x_{i-1}x_i + x_i^2 \le 3x_i^2\\ &\\ &x_{i-1}^2 \le \frac 13(x_{i-1}^2+ x_{i-1}x_i + x_i^2) \le x_i^2\\ &\end{align}$$

Y lo otro es una mera comprobación

$$\begin{align}&(x_i-x_{i-1})\frac 13(x_{i-1}^2+ x_{i-1}x_i + x_i^2)=\\ &\\ &\frac 13(x_ix_{i-1}^2+x_{i-1}x_i^2+ x_i^3 -x_{i-1}^3-x_ix_{i-1}^2-x_{i-1}x_i^2)=\\ &\\ &\frac 13(x_i^3-x_{i-1}^3)\end{align}$$

Y eso es todo.