Probabilidad y estadística 40

Dianis 1556!
2.84
Hay que tomar el resultado de la página 58 del libro y aplicarlo a A1, A2, A3
p(A1UA2UA3) = p(A1) + p(A2) + p(A3) - P(A1nA2) - P(A1nA3) - p(A2nA3) + p(A1nA2nA3)
Como P(A1nA2) = P(A1nA3) y P(A2nA3)= 0 tenemos
p(A1UA2UA3) = p(A1) + p(A2) + p(A3) - 2P(A1nA2) + p(A1nA2nA3)
Pero por el teorema 2.5 tenemos P(AnB) = P(A|B)P(B)
Si aplicamos este teorema a estos conjuntos
A = A1
B = A2 n A3
tendremos
P(A1nA2NA3) = P(A1n(A2nA3)) = P(A1 | A2nA3) P(A2nA3) = P(A1 | A2nA3) · 0 = 0
Con lo que el último término es cero y el resultado final es el que nos decían:
p(A1UA2UA3) = p(A1) + p(A2) + p(A3) - 2P(A1nA2)
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2.85
Si A y B son independientes tendremos
P(AnB) = P(A) · P(B)
por otro lado tenemos
A = (AnB) U (An(-B))
Donde además (AnB) y (An(-B)) son mutuamente excluyentes porque uno tiene todos sus elementos incluidos en B y el otro en -B. Por lo tanto, la probabilidad de la unión es la suma de las probabilidades
P(A) = P(AnB) + P(An(-B))
Como A y eran independientes decíamos arriba que P(AnB) = P(A) · P(B), luego
P(A) = P(A) · P(B) + P(An(-B)) y ahora operamos
P(A) - P(A) · P(B) = P(An(-B))
P(A) (1 -P(B)) = P(An(-B))
pero 1 - P(B) es la probabilidad de -B
P(A) P(-B) = P(An(-B))
Luego se cumple la condición que hace que A y -B sean independientes
LO DEJO DE MOMENTO que ya no estoy para pensar más.