Demostración de complejos.
Hallar todos los complejos Z, Z distinto de 0 , que verifiquen -Z = Z^(-5)
1 Respuesta
-z = z^(-5)
multiplicamos por z^5
-z^6 = 1
z^6 = -1
Luego debemos hallar las raíces sextas de -1 que son 6.
La forma fácil de hacerlo es con el número en forma polar que tendrá módulo 1 y ángulo 180º
Entonces la primera raíz se obtiene sacando la raíz sexta del módulo y dividiendo el ángulo entre 6.
Eso nos da el número de módulo 1 y ángulo 30º.
Y las siguientes se obtienen sumando a la anterior la sexta parte de los 360º de la circunferencia. Las raíces con módulo y ángulo son
1, 30º
1, 90º
1,150º
1, 210º
1, 270º
1, 330º
Que si quieres podemos poner en binomial por si te lo piden así.
$$\begin{align}&r_1=1_{30º}=cos30+i·sen30=\frac{\sqrt 3}{2}+\frac i2\\ &r_2=1_{90º}=i\\ &r_3=1_{150º}=-\frac{\sqrt 3}{2}+\frac i2\\ &r_4=1_{210º}=-\frac{\sqrt 3}{2}-\frac i2\\ &r_5=1_{270º}=-i\\ &r_6=1_{330º}=\frac{\sqrt 3}{2}-\frac i2\end{align}$$Y eso es todo.
una consulta, por que solo se saca las raíces de -1 y no 1? son las conjugadas?
Saco las de de -1 porque eso es lo que me pide la ecuación
-z = z^(-5)
-z^6 = 1
z^6 = -1
z = (-1)^(1/6)
Si la ecuación hubiera sido
z = z^(-5)
z^6 = 1
z= (1)^(1/6)
Y entonces habría calculado las raíces de 1.
No, las raíces de 1 no son precisamente las conjugadas de las raíces de -1. Fijate que las raíces de -1 están conjugadas dos a dos entre sí, luego los conjugados de las raíces de -1 son ellas mismas.
Y eso es todo.
