En la suma directa de F + G , cada vector tiene al menos dos sumas para un mismo

Es falso.

Para que la suma sea directa los subespacios F y G deben tener el vector nulo como única intersección

Supongamos que un vector u puede ponerse como dos sumas distintas

u = v1 + w1

u = v2 + w2

con v1,v2€F y w1,w2€G

entonces

v1 + w1 = v2 + w2

v1-v2 = w1-w2

donde

v1-v2 € F

w1-w2 € G

como el único vector de los dos subespacios es el 0 debe ser

v1-v2 = 0 ==> v1 = v2

w1-w2 = 0 ==> w1=w2

Luego no había dos suma distintas, eran la misma.

Y eso es todo.