Álgebra lineal aplicada
si el producto de las diagonales de un cuadrilátero convexo, es igual a la suma de los productos de sus lados opuestos,el cuadrilátero es cíclico. Verifique que el cuadrilátero con vértices (-2,0),(2,0),(1,- raíz 3 ) y (1, raíz 3 ), es cíclico ¡¡ como lo puedo demostrar ¡¡ o hacer ayuda por favor
1 Respuesta
Lo primero sería hacer un dibujo de los puntos. Es muy sencillo, se ve que hay dos puntos en el eje X y uno arriba y otro abajo alineados verticalmente. Poniéndoles nombre en sentido de las agujas del reloj son
A=(1, sqrt(3))
B=(2,0)
C=(1,-sqrt(3))
D=(-2,0)
las diagonales son AC y BD
los pares de lados opuestos son AD con BC y AB con CD
Pues es todo cuestión de calcular las distancias y ver que se verifica esto
AC · BD = (AD · BC) + (AB · CD)
AC = 2sqrt(3) es inmediato
BD = 4 tambien
$$\begin{align}&\overline{AD}=\sqrt{(-2-1)^2+(-\sqrt 3)^2}=\sqrt{12}=2 \sqrt 3\\ &\\ &\overline{BC}=\sqrt{(1-2)^2+(\sqrt 3)^2}=2\\ &\\ &\overline{AB}=\sqrt{(2-1)^2+(-\sqrt 3)^2}= 2\\ &\\ &\overline{CD}=\sqrt{(-2-1)^2+(-\sqrt 3)^2}= \sqrt{12}=2 \sqrt 3\\ &\\ &\\ &\overline{AC}·\overline{BD}=2 \sqrt 3 · 4=8 \sqrt 3\\ &\\ &\overline{AD}·\overline{BC}+\overline{AB}·\overline{CD}=2 \sqrt 3·2 + 2·\sqrt 3=8 \sqrt 3\end{align}$$Luego se cumple lo que nos pide el enunciado y el cuadrilátero es cíclico.
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no, pregunta lo que no entiendas y si ya está bien no olvides puntuar.
