Aplicaciones de la Derivada 2

Primero hallamos la derivada para conocer las pendientes de la recta tangente. Hacemos derivación implícita.

y + xy' = 0

y' = -y/x

Por la fórmula de la recta tangente las rectas tangentes en puntos (xo, yo) serán

y = yo -(yo/xo)(x-xo)

como esos puntos (xo,yo) son de la curva verifican xo·yo=1 despejamos yo=1/xo

y = (1/xo) - [(1/xo)/xo](x-xo)

y = (1/xo) - (1/xo^2)(x-xo)

Para que esa recta pase por (1,1) debe ser

1 = (1/xo) -(1-xo)/xo^2

Multiplicamos todo por xo^2

xo^2 = xo - (1-xo)

xo^2 = xo - 1 +xo

xo^2- 2xo + 1 = 0

Es un cuadrado perfecto

(xo - 1)^2 = 0

xo-1 = 0

xo =1

Luego la ecuación de la tangente la obtenemos de aquí

y = (1/xo) - (1/xo^2)(x-xo)

sustituyendo xo=1

y = (1/1) -(1/1^2)(x-1)

y =1 - (x-1)

y =-x +2

Y eso es todo.