Introducción a la combinatoria

Las ponemos en orden.

Si las primeras consecutivas son primera y segunda pueden ser

(1,2), (2,3), (3,4), ..., (44,45)

Y la suma de los casos es

C(47,4) + C(46,4) + C(45,4) + .....+ C(4,4)

Siento muchísimo que no funcione el editor de ecuaciones de la página web, ya lleva así algunos días. Sobre números combinatorios hay una fórmula que dice:

Sumatorio desde k=n hasta m de C(k,n) = C(m+1, n+1)

Se puede comprobar a partir de

C(m+1, n+1) = C(m, n) + C(m, n+1) = C(m,n) + C(m-1,n) + C(m-1,n+1) =

C(m,n)+C(m-1,n)+C(m-2,n)+C(m-2,n+1) =....

Y asi hasta llegar al último sumando que sería C(n+1, n+1) que vale 1 y por lo tanto puede ponerse como C(n, n) y con esto queda cuadrada la fórmula que pusimos

Con esta fórmula el sumatorio de los casos de arriba es:

Sumatorio desde k=4 hasta 47 de C(k,4) = C(48,5)

Ahora supongamos que la primera vez que salen consecutivas es en la segunda y tercera, Esas cifras pueden ser

(3,4), (5,6), (6,7), ...(45,46)

Nótese que no se puede poner (2,3) ya que entonces la primera bola sería 1 y las primeras consecutiva se darían en las posiciones primera y segunda

Y los casos serán

1·C(45,3) + 2·C(44,3)+ 3·C(43,3) + .....+ 43·C(3,3)=

Esta vez hay que tener más fantasía todavía

= sumatorio k=3 hasta 45 de C(k,3) +

sumatorio k= 3 hasta 44 de C(k,3) +

sumatorio k=3 hasta 43 de C(k,3) + ...

sumatorio k=3 hasta 3 de C(k,3) =

C(46,4) + C(45,4) +C(44,4) + ... + C(5,4)+ C(4,4) = C(47,5)

Supongamos que las primeras consecutivas son tercera y cuarta. En el mejor de los casos la primera será 1 la segunda 3 y la tercera 5 luego las consecutivas puede ser

(5,6), (6,7),...,(46,47)

Y esta vez ya es una pasada calcular los casos

1·C(43,2) + (formas de poner 2 no seguidos entre 1 y 4)·C(42,2) +

(Formas de poner 2 no seguidos entre 1 y 5)·C(41,2) + ... +

(Formas de poner dos no seguidos entre 1 y 44)·C(2,2) =

Y las formas de poner dos no seguidos entre 1 y n son

(n-2) + (n-3) + ... + 1 = (n-2+1)(n-2)/2 = (n-1)(n-2) /2

luego tendremos

1·C(43,2) + (3·2/2)·C(42,2) + (4·3/2)·C(41,2) + ... + (43·42/2)·C(2,2)=

Y como podrás comprender hasta aquí hemos podido llegar esta suma no hay quien la haga y lo que queda es el infierno, luego este método no sirve.

Tal vez haya que abordarlo contando las que no tienen consecutivas.

Con 1,3,5,7,9 hay del 11 a 49 = 39

Con 1,3,5,7,10 hay 38

Con 1,3,5,7,11 hay 37

...

Con 1,3,5,7,47 hay 1

Esto hace de momento (39+1)39/2 = 780

Con 1,3,5,8,10 hay del 12 al 49 = 38

Con 1,3,5,8,11 hay 37

....

Con 1,3,5,8,47 hay una

El segundo total es (38+1)38/2 = 741

! Uff, pero si que hacer casi infinitas sumas de estas, no puede ser!

O se han pasado con el problema o hay alguna forma sencilla que no se me ocurre.