¿Cómo se resuelven estos ejercicios?

a)

i)

La fórmula de la ecuación de segundo grado tiene dos respuestas porque hay una cantidad que se suma y se resta. Pero si esa cantidad es 0 entonces las dos respuestas son iguales

Luego si el llamado discriminante es cero

b^2 - 4ac = 0

Habrá solo una solución real.

Calculemos el discriminante y lo igualamos a 0

(2m)^2 - 4·6·150 = 4m^2 - 3600 = 0

m^2 - 900 = 0

m^2 = 900

m = -30 y 30

ii) Sean r y s las soluciones de la ecuación de segundo grado, se cumple:

ax^2 + bx + c = a(x-r)(x-s) = a[x^2 + (-r-s)x + rs)] = ax^2 -a(r+s)x + ars

como los coeficientes el primer miembro y el último deben ser iguales tendremos

b = -a(r+s)

c = ars

Entonces en la ecuación que nos dan 6x^2 + 2mx + 150 =0 tendremos

2m = -6(15+s)

150 = 6·15·s

en la segunda podemos despejar directamente s

s = 150 / (6·15) = 10/6 = 5/3

y calculamos m

2m = -6(15 + 5/3) = -6(50/3) = -100

m = -100/2 = -50

Luego la otra solución es 5/3 y m=-50

b)

Hacemos igual que antes, igualamos a 0 el discriminante para hallar los valores de k que hacen que la solución sea única

k^2 -4(-2)10 = 0

k^2 + 80 = 0

Y si se quiere no hace falta seguir, el lado izquierdo va a ser siempre >= 80 luego la igualdad es imposible. O si se quier seguir

k^2 = -80

k = raíz cuadrada de (-80) que no es real.

Luego no hay valor real de k que haga que haya solución única.

Y eso es todo.