El siguiente sistema de vectores es una base o un sistema generador del siguiente espacio?
Hola, tengo la siguiente interrogante, si en un sistema de coordenadas cartesianas a partir de un punto 0, 0', hacia cada cuadrante tengo un vector con iguales mismos modulos con un angulo de 45 grados, es decir desde el centro 0, 0', forman una equis. Son estos cuatros vectores la base del espeacio bidimensional donde esta contenido el sistema de coordenadas cartesianas o son el sistema generador de dicho espacio bidimensional?
Por favor podrian ofrecerme la mayor cantidad de detalles que explique la diferencias entre ambas situaciones, gracias.
1 Respuesta
Estamos en el plano por lo que veo, eso es el espacio vectorial R2.
Un sistema generador es un conjunto de vectores que mediante combinaciones lineales de ellos se puede conseguir cualquier vector.
Una base es un sistema generador y libre.
Por la teoría de espacios vectoriales de dimensión finita, los sistemas libres tienen menos vectores que los sistemas generadores y existe un número para el cual los sistemas libres son generadores y los generadores son libres, ese número se llama dimensión del espacio vectorial. Y las bases son los sistemas con ese número de vectores que son generadores o libres, simplemente con cumplir una de las dos cosas cumple la otra.
El plano tiene dimensión 2, el espacio 3, los polinomios de grado menor o igual que dos tienen dimensión 3, las matrices 3x3 tienen dimensión 9, etc.
Entonces el sistema que tu propones tiene 4 vectores en un espacio de dimensión 2, por lo tanto no puede ser una base porque las bases tienen dos vectores. Lo que si es, es un sistema generador ya que en R2 basta con que el sistema tenga dos vectores libres para ser generador.
A tu sistema le puedes quitar 2 vectores para dejarlo en un base, pero debes dejar dos vectores que estén en perpendicular, ya que si dejas dos que están en línea, serán dos vectores que solo generarán la recta diagonal sobre la que están.
Asi puedes conseguir estas bases
B1={(1,1), (1, -1)}
B2={(1,1), (-1,1)}
B3={(-1,-1),(1,-1)}
B4={(-1,-1),(-1,1)}
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así pregúntame.
Ha sido una extraordinaria y especifica respuesta, que me ha permitido entender de forma clara cada concepto, le estoy muy agradecido, muchas gracias!
