Pregunta de probabilidad de que dos personas cumplan el mismo mes
en una reunión hay 10 personas. Calcule la probabilidad de que celebren su cumpleaños el mismo mes al menos dos personas.
1 Respuesta
Si tomamos y escribimos seguidos los diez meses de nacimiento tendremos 12^10 posibilidades. Vamos a recontar cuantas de ellas tienen distintos todos los meses
Primeramente los meses elegidos son 10 de 12 luego se pueden elegir de
C(12,10) formas distintas
C(12,10) = C(12,2) = 12·11 / 2 = 66
Y por cada forma de elegir los meses, ya que son distintos, estos pueden estar ordenados de permutaciones de 10 formas distintas, que son 10!
Luego los casos donde todos los meses son distintos son
66 · 10!
Los que nos piden son los otros, en los que hay alguno que se repite, estos serán
12^10 - 66 · 10!
Y su probabilidad será ese numero de casos entre los posibles.
P = (12^10 - 66 · 10!) / 12^10 =
1 - (66 ·10!) / 12^10 =
1 - 239500800 / (6.191736422 x 10^10) =
1 - 0.003868071631 =
0.9961319284.
Quizá sea más fácil esta otra forma de calcularlo. Vamos a calcular la probabilidad de que todos los meses sean distintos
El primero nació un mes cualquiera.
El segundo puedo nacer en 11 meses distintos, la probabilidad es 11/12
El tercero en 10 meses con probabilidad 10/12
El cuarto en 9 meses
...
Y asi hasta el 10 que pudo nacer en 3 meses distintos
Luego la probabilidad de todos distintos es
11·10·9·8·7·6·5·4·3 / 12^9 = 11! / (2 · 12^9) =
39916800 / (1.03195607 x 10^10) =
0.003868071631
Y la probabilidad dde 2 o más iguales es
1 - 0.003868071631 = 0.9961319284.
¡Qué gusto da cuando sale lo mismo haciéndolo de dos formas distintas!
Y eso es todo.
