Calcular integral con integración por partes

Espero que sea esta la integral que dices.

$$\begin{align}&\text{La fórmula es}\\ &\\ &\int udv= uv -\int vdu\\ &\\ &Entonces\\ &\\ &\int x^2lnx\;dx=\\ &\\ &u=lnx\quad\quad\quad du =\frac{dx}{x}\\ &dv=x^2dx\quad\quad v =\frac{x^3}{3}\\ &\\ &=\frac{x^3}{3}lnx-\int \frac{x^3}{3} \frac{dx}{x}=\\ &\\ &\frac{x^3}{3}lnx-\int \frac{x^2}{3}dx=\\ &\\ &\frac{x^3}{3}lnx-\frac{x^3}{9}+C=\\ &\\ &\frac{x^3}{3}\left(lnx - \frac 13  \right)+C\\ &\end{align}$$

Y eso es todo.