Matemática Aplicada a la Economía

a)

El ingreso total es la cantidad de artículos vendidos por el precio de cada uno. Y el precio de cada uno es precisamente el valor de la función de la demanda para una cantidad q

it=p(q)·q

p(q)=it/q = 200qe^(-q/50) / q = 200e^(-q/50)

p(q) = 200e^(-q/50)

b)

El crecimiento o decrecimiento de una fución se calcula mediante la derivada. Si la derivada es positiva la función es creciente y si es es negativa la función es decreciente.

it'(q) = 200e^(-q/50)+200qe^(-q/50)·(-1/50) =

200e^(-q/50) - 4qe^(-q/50) =

e^(-q/50) · (200-4q)

El número e elevado a algo es siempre positivo, luego si la expresión vale 0 será porque es cero el segundo factor

200-4q = 0

200=4q

q = 200/4 = 50

Tenemos un función continua que solo pasa un avez por el cero, antes tendra siempre el mismo signo y después también un solo signo ( normalmente distinto pero no necesariamente, puede ser que el cero sea punto de rebote).

Veamos cual es el signo de la derivada antes y despues de 50

Como representante de antes de 50 tomemos el cero

it'(0) = e^(-0/50)(200-4·0) = e^0 · 200 = 200 Signo positivo

Y como despues el 100

it(100)= e^(-100/50)(200-4·100) = e^(-2)(-200) = -27,067 signo negativo

Y los ingresos son crecientes cuando la derivada es positiva, luego los niveles de crecimiento son de 0 a 50.

Y eso es todo.