a)
El ingreso total es la cantidad de artículos vendidos por el precio de cada uno. Y el precio de cada uno es precisamente el valor de la función de la demanda para una cantidad q
it=p(q)·q
p(q)=it/q = 200qe^(-q/50) / q = 200e^(-q/50)
p(q) = 200e^(-q/50)
b)
El crecimiento o decrecimiento de una fución se calcula mediante la derivada. Si la derivada es positiva la función es creciente y si es es negativa la función es decreciente.
it'(q) = 200e^(-q/50)+200qe^(-q/50)·(-1/50) =
200e^(-q/50) - 4qe^(-q/50) =
e^(-q/50) · (200-4q)
El número e elevado a algo es siempre positivo, luego si la expresión vale 0 será porque es cero el segundo factor
200-4q = 0
200=4q
q = 200/4 = 50
Tenemos un función continua que solo pasa un avez por el cero, antes tendra siempre el mismo signo y después también un solo signo ( normalmente distinto pero no necesariamente, puede ser que el cero sea punto de rebote).
Veamos cual es el signo de la derivada antes y despues de 50
Como representante de antes de 50 tomemos el cero
it'(0) = e^(-0/50)(200-4·0) = e^0 · 200 = 200 Signo positivo
Y como despues el 100
it(100)= e^(-100/50)(200-4·100) = e^(-2)(-200) = -27,067 signo negativo
Y los ingresos son crecientes cuando la derivada es positiva, luego los niveles de crecimiento son de 0 a 50.
Y eso es todo.