Solución ejercicio 2 pagina 395

Hallar la media de e^(x+y) sobre el triángulo con vértices (0,0), (0,1) (1,0)

Es el triángulo rectángulo de catetos los ejes X e Y con longitud 1

Su área es 1·1/2 = 1/2

Debemos hallar la integral de la función sobre el triángulo y dividir entre el área para obtener la media

Los límites de integración son sencillos

En x varían entre 0 y 1

En y entre 0 y la función de la recta que hace de hipotenusa que es una recta de pendiente -1 que pasa por en punto 1 con x= 0, luego la recta es

y =-x+1

$$\begin{align}&\int_0^1\int_0^{-x+1}e^{x+y}dydx=\\ &\\ &\int_0^1 \left.e^{x+y}\right|_0^{-x+1}dx=\\ &\\ &\int_0^1(e^{x-x+1}-e^x)dx=\\ &\\ &\int_0^1(e-e^x)dx=\\ &\\ &\left[xe-e^x  \right]_0^1=e-e-0+1=1\end{align}$$

Luego la media es 1/(1/2) = 2

Y eso es todo.